第七回  刀光劍影  竟從方程求解引起

　　        沖天巨浪  卻由文藝復興開辟

　　歐洲一覺睡醒，拼命地搞知識進口。一位自學成才的數學家正為自家的發現洋洋得意，卻險遭殺身之禍。使代數從幾何中獨立出來的韋達，不料還是破密碼的能手。現代數學的帷幕正徐徐拉開……

　　且說上回書中所說的那塊地域，即現如今之歐羅巴洲，歐洲是也。

　　這西歐一塊，現在是所謂“花柳繁華地，溫柔富貴鄉”了，算是個好去處。孰不知兩千年前，當幾大文明盛極一時之際，今天的歐洲一帶只有原始的文明。住在那里的日耳曼人既沒有文字更沒有文化，是個“發展中國家”，“第三世界”。

　　后來發展了千把年，也還不能和咱中國一比。那時的大唐、大宋，早已是繁華昌盛，萬邦來朝，儼然是世界文明的精華所在。

　　歐洲人自己說的幽默：當東方人穿錦戴銀的時候，咱們老祖宗還圍著樹葉在樹洞里呆著呢。

　　正所謂“三十年河東，三十年河西”，滄海桑田，如此而已。

　　那英法一帶，雖早在羅馬新聞社國統轄時就獲得一些文化，但直到公元500年，新的文化影響才開始在歐洲起點作用。

　　不過，這新的影響一開始卻是不大妙。從公元5世紀中葉到11世紀，這六、七百年時間，是歐洲的黑暗時代，萬惡的舊社會。那時，學校教育名存實亡，希臘學問幾乎絕跡。

　　要說有文化，也都在教會的修道院內。大部分的文化人都在院墻內研讀圣經，侍奉上帝。就是墻外剩下的幾個，又怎敢大膽妄為，離經叛道？大家都得統一在教會的權力下。

　　好像還是那么個理：圣經以外的知識，如果是好的，早就在圣經里；如果不合圣經，當然是壞的。好壞界限很明確，不由你分說，一切以圣經為準。

　　那時的數學主要是為了有點基礎學學天文，好夜觀天象，用占星術來預測吉兇禍福。現在有些人也喜歡看看自己、看看別人是屬于什么星座，趕個洋時髦，其源都出于此。

　　那時有點名氣的數學家中，有一位叫博埃齊（約475—524），他寫了兩本教科書：《幾何學》和《算術》。

　　那《幾何學》也只是對歐幾里德的《原本》支離破碎地摘抄了一些，可能還有錯誤，定理也沒給出證明。奇怪的是還在這本書里含有算盤和分數的內容，可能是算命看星座要用得著。

　　《算術》的內容也是乏味枯燥，神秘兮兮的。就這么兩本書還被當作寶貝，好幾百年里一直作為教會學校的標準課本，一直用到12世紀。

　　這位博埃齊出自名門，還寫了一些哲學書，而他則成為了中世紀經院哲學的奠基人。他理想高尚，又有點剛直不阿的味道，最后竟以叛國罪被斬。

　　后來還有一位熱爾拜爾（約 950—1003），法國人，教士。他幼年就聰明異常，到西班牙的穆斯林學校學習過，很可能隨之也把印度—阿拉伯數字帶回了歐洲。

　　他手藝倒也不賴，能做做風琴，制制地球儀，造造鐘表，令同輩五體投地，認為他是個鬼才。令人迷惑的是，這么一個有生氣的人，在公元999年竟被選為基督教的教皇。

　　就從這位教皇開始，希臘的科學著作，自然也包括數學著作，開始傳入西歐。一個途徑是通過貿易、旅游、留學，同地中海地區和阿拉伯人發生接觸，吸收他們沒見過的大量知識。

　　希臘文的、阿拉伯文的著作大量翻成拉丁文。那些當權人物不知是什么原因，也支持學者們出國取經。有一位老先生居然喬裝打扮，冒充回教徒，去阿拉人的地盤里偷學“真經”。這要是現在，是要被當作科技間諜的。還有一個途徑是戰爭。不過這場仗不是為數學去打的，那叫做十字軍東征。

　　1085年基督教徒攻占托里多城，那些基督教學者們立刻蜂涌而入，那里的阿拉伯著作可是多極了。又過了幾年，基督徒又從阿拉伯人那里奪取了西西里島。

　　那西西里島大家當然都覺得耳熟。此處確實是個風水寶地，是東西方的天然會合處，幾大文明的聚寶盆。希臘、羅馬、阿拉伯，反復爭奪，幾度易手。基督教的學者在這里如獲至寶，把大量的希臘和阿拉伯的手稿翻譯成拉丁文。

　　整個 12 世紀就是這么不停地翻，不停地學。歐洲人對這些著作如此欽佩，以至完全傾倒。他們見到了一片從未見過的綠洲，他們發現了真正的新大陸。這精神文明的大發現要比哥倫布的發現早上300多年呢。

　　這個時期就叫做大傳播時期。

　　火種已經播下了，但要形成燎原之勢，還需時間老人起起作用。所以12、13 世紀那當口，思想還是受著嚴重的束縛。不過由于有了那么多的希臘書、阿拉伯書，總歸有點生氣，有點起色。

　　這其中最值得一提的一位，是 13世紀初的斐波那契（約1170～1250），稱得上是歐洲中世紀最杰出的數學家。

　　斐波那契也被稱為比隆的萊昂納多，1175年出生于比隆的商業中心，其父在那里經商。那時，許多意大利大商行在地中海一帶的許多地方擁有倉庫。就在他父親當海關關員時，小小的年紀，他就隨父親到過非洲。做父親的天天要算帳，當兒子的在旁邊看久了，當然就有了興趣。

　　后來斐波那契又到埃及，西西里、希臘和敘利亞去游歷，當然是長了更多的見識，學了許多的數學，如果他要一直在歐洲，那肯定是沒那么大出息了。

　　回到比隆，受到當局的重視。他確信印度——阿拉伯的那一套數學，是要比當時的歐洲優越。1202年，契先生寫了他的名著《算盤書》，咱們在前面已經見過一次面啦。

　　這本書雖然有許多是斐波那契的獨立成果，但也受了阿拉伯和希臘材料的不少影響，當然這其中也有印度、中國的影響。阿拉伯所做的“金橋工程”，從歐洲文明的大傳播時期起，就發揮了巨大的效益。

　　斐先生之前，歐洲已多少知道一點印度一阿拉伯記數法，不過只在修道院的院墻內，被教士們研究玩賞。可憐的老百姓依然在用繁雜的羅馬數字，用著巴比倫的60進制分數。

　　從斐先生的光輝著作產生巨大影響起，歐洲人這才撥云見日，慢慢用起印度—阿拉伯記數法，用起印度人對整數、分數、平方根、立方根進行計算的方法。《算盤書》中的代數，他也照著阿拉伯人的樣子用文字講述，而不是用符號，比丟蕃都的立方程和中國的“天元術”都低了一截，未達水準。

　　各位同學，對于咱們大多數人來說，了解得較多的，就是以他名字命名的斐波那契數列了。

　　那斐波那契數列確實很重要，流傳至今，中學的老師一講到數列，必提起它的大名，不過就很少講起這數列中的有趣故事啦。這故事可是斐先生自編的，用來引出問題：

　　假定一對剛出生的小兔一個月能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔，并且此后每個月都生一對小兔。如果一切正常沒有死亡，公母兔也比例適調，那么一對剛出生的兔子，一年系繁殖成多少對兔子？

　　咱們自己拿著紙頭，或者就在書邊角上，簡單推算一番．就可以知道，按月排下來，每月的兔子對數是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

　　那233，就是一對剛出生的小兔，一年內所能繁殖成的兔子的對數。咱們自然還能往下算。下一個數就是14＋233＝377。為什么呢？說起來也挺簡單：那233中包括兩部分兔子，一部分是剛生下一月的兔子，那么在下一個月中不能生；一部分是生下已超過一個月的兔子，這一部分在下一個月都要再生一對兔子。把這兩部分找出來，到底是多少，當然就能算出 233后面應該是多少只兔子了。

　　其實，那第二部分的兔子數已經寫在上面了，就是 144。從 144 增加到233，增加了89只新兔子，所以144對于233的下一個數來說，就是老兔子了。所以233的下一個月，應新添144只兔子。共計有144＋233＝377只兔子。

　　這自然是游戲之作，數學家們的呆想，實際中那能保證不死亡，永遠這么生下去呢？

　　那么這377算出來以后，再往下的各項大家當然也能看出門道了。這個數列中，每一項總是前兩項之和！自然，除去第一、第二項以外。

　　所以這個數列就叫作“遞推數列”，也就是說，知道了前兩項，就能推出后一項，能像滾雪球一樣，逐漸滾大、滾多。

　　遞推數列是種很重要的數列，斐波那契好像是頭一份。所以在中學里要講到遞推數列時，當然首先要提到它。

　　那斐波那契數列，還有一奇妙之處，兩個相鄰項之比（小的比大的數），就與所謂“黃金分割”的0．618發生了絕妙的契合。請看：

　　這0．618，不但是“黃金分割”，很美，而且也很技術，很科學。此話怎講？原來后世有“優選法”一說，研究的就是如何從一大堆數據中，好中選好，優中選優。此是后話，暫且不提。

　　斐波那契數列被斐先生說的生動有趣，很吊胃口，這也是那時的數學書常用的手法。恐怕那時的讀者水平初等，板起面孔來教，效果更差。

　　比如斐先生還給出這樣一題，咱們不妨放進腦子里，茶余飯后也能助點談興：

　　一個人經過七道門進入果園，摘了許多蘋果。離開果園時，給第一個守門人一半加一個；給第二個守門人，是余下的一半加一個；對其他五個守門人，也如此這般，最后帶著一個蘋果離開果園。請問當初他一共摘了多少蘋果？

　　看來這些守門人也是亂設路卡亂收費，雁過拔毛，非治理整頓不可。

　　斐波那契的才能受到皇上陛下弗里德里希二世的垂青，因此被邀請到宮廷參加數學競賽。皇上的四品帶刀侍衛約翰閣下提出了三個問題。所以認真說起來倒不是競賽，而是想考考咱斐先生的學力功底。

　　13 世紀的歐洲數學，以斐波那契為代表，就這么慢慢地在巴黎、牛津、劍橋和那不勒斯等地的一些大學發展起來。星星之火，終于要成燎原之勢了。且說從12世紀的大傳播開始，歐洲文明的火種已經播下了，文明之車也緩緩起動。

　　但這沖天之火卻不能突然而起，黎明之前還真有一段黑暗呢。

　　首先是13世紀的基督教可真是不含糊，對異端邪說保持高度的警惕。少數的幾所大學都受教會的控制，教授們不能自由地講授。特別是哪方面發現有和教義相抵觸的論調，那是立刻鎮壓，其殘酷與惡毒的程度在歷史上是空前的。臭名昭著的宗教裁判所直到現在被人們提起，還不寒而栗，萬分憎惡。

　　還有那老天爺也和歐洲人過不去。14世紀的下半葉，黑死病流行，掃蕩了歐洲三分之一的人口。人們朝不保夕，哪還有心思去想問題，研究學問？再說了，長期在那種思想僵化的氣氛里生活，你給他思考的權利，他也展不開想象的翅膀，何況還有宗教裁判那座大山壓在頭上。

　　人們迫切需要一場思想解放的運動，掙脫枷鎖，投入到生機勃勃的創造中去。

　　這場革命終于來到了，這就是從1400年到1600年左右的文藝復興。歐洲被深深地震撼，知識和知識界的面貌也大大地改變，數學活動以空前的規模和深度蓬勃興起。

　　這文藝復興的圣地和源頭自然是意大利。意大利能擔此歷史大任，當然不是上帝隨便擲的骰子，而是有方方面面的條件。

　　意大利南臨地中海，生意做得很大，財富源源流入，還建立了不少大銀行，錢多了，搞學問才有可能。再者，當時的意大利被戰爭弄得支離破碎，正是促進個性解放，反抗教皇統治的大機會。戰爭解放了人民，鼓勵知識分子造反。一場思想解放和文化啟蒙運動從這里開始不是偶然的。

　　其他客觀也很好，希臘的大量文稿又一次大量涌入歐洲，這次是土耳其人占了君士坦丁堡（1453年），這些寶貴的手稿比十二、三世紀時得到的要好得多。

　　好事一樁連一樁。正當其時，中國的造紙術、印刷術又通過阿拉伯傳入了歐洲。可憐的歐洲以前可是一直用的羊皮紙、草皮紙，這種紙可真是貴。

　　實在沒法想了，還要把寫過字的羊皮紙擦掉重用。現在可好了，能用上棉紙和麻紙了。

　　那印刷術的應用更是一件了不得的大事，一點不比現代電子計算機的發明遜色。試想想，不用印刷，光靠手抄，一本一本傳抄，那還了得！敢再過過這種日子嗎？

　　1482年，譯成拉丁文的《原本》第一次印刷出版了。

　　這么多條件湊在一塊，真是“天時、地利、人和”了，單等那偉大人物登高一呼。正像有人那么說過的，這是一個需要巨人而又產生巨人的時代。果然，就有了所謂“文學三杰”——但丁、彼特拉克、卜伽丘，和“藝術三杰”的出現。那后面的三杰就是達·芬奇、米開朗基羅、拉斐爾。

　　達·芬奇雖然是大畫家，但他的博學多才更是著名。他還設計過直升飛機！說他是個科學家一點也不過份，他寫過幾何方面的著作。

　　更偉大的科學家自然是哥白尼（1473—1543），伽利略（1564—1642）、開卜勒（1571—1630），一時間群星薈萃，把舊世界的思想禁區掃蕩得人仰馬翻，一塌糊涂。

　　同學們也許會犯迷糊，咱們好好的數學演義，要談什么文藝復興、“日心說”“地心說”有什么用？其實咱們的數學，要發展要進步，全要有個環境，有種氛圍作基礎，萬事萬物也都是這個理。咱們在這多說道一番，就是明白一下數學發展的道理和道路所在。

　　要知道，經過文藝復興這么一解放，知識分子們可是大開眼界。希臘知識體系里的那種崇尚自然，探討自然，追求完美和自由研討的作風，成為新的價值觀，新的價值標準。

　　歐洲人這時感覺到，自然界是按照數學方式設計的，設計得非常的和諧優美。而這些正是希臘學者的主導思想。

　　再說了，文藝復興的掃帚一到，中世紀的文化和文明自然被掃得支離破碎，各種教會建立的哲學、思想基礎上崩瓦解。人們迫切要一個新的基礎，而數學是唯一被大家公認的真理體系。

　　按照那時的普遍看法，上帝是按數學方式設計了大自然，上帝是一位至高無上的數學家。文藝復興時許多科學家是神學家，用自然代替圣經作為他們的研究對象。

　　“世界是按上帝的計算創造的”，這就是他們的新信仰。希臘思潮沖擊了愚昧的基督教世界，知識分子們既被希臘世界所深深吸引，又不敢（也許是舍不得）做基督世界的徹底叛臣，他們就把兩個世界的教義溶為一體了。

　　一出有聲有色的現代數學的大幕就要徐徐拉開了。不過咱們先別忙看最精彩的部分，而是把目光轉向這場運動初期的一些時期。

　　卻說那文藝復興對歐洲文明、對數學的影響當然是不言而喻，可是在初期，數學上卻并沒有什么輝煌的成就。輝煌的成就還需要人們在各方面為它作好出現的準備。

　　那初期一階段，對現在比較有意義的事情，就是各種代數符號的出現。符號的使用對代數來說具有什么樣的意義，不說大家也清楚。

　　首先咱們看一看等號的使用。發明現在這種等號的是英國人雷科德。雷先生（1510—1558）寫出了16世紀最有影響的教科書，是用英文，而不是拉丁文寫的，這可是一個進步。

　　1551，他寫了本《知識的城堡》，是介紹哥白尼的“日心說”的。還有一本《知識的捷徑》，是《原本》的一個節略本。而現在等號的第一次使用，就是他在《智力的磨石》中的創造了。

　　對這個符號，雷科德說的也很精彩：“再也沒有別的兩件東西比它們更相等了。”他所說的兩件東西，就是指組成等號的兩條平行線。

　　加號和減號，一開始是用 P 表示加，M 表示減，這是意大利人帕奇歐里在1494年的一本書里使用的。咱們現在用的“＋”和“-”，是一位捷克人維德曼。這是1489年出版的一本書里的記法。

　　此外，乘號是1631年由奧特雷德在他的著作《數學之鑰》中第一次使用的；除號是瑞士人雷恩在1659年首先用的。還有根號，如此等等。

　　這些符號一一地使用，就等著代數的徹底符號化了，而這已是不太遙遠的事了。

　　在這偉大時刻到來的前夜，不想在三次方程問題上卻發生了一場極具戲劇化的大風波。兩位數學家變成了不共戴天之敵，到了動刀動槍玩命的程度，真正是數學史不多見的。

　　這兩位主角，究竟是哪里人氏？緣何成仇？請大家莫急，我給大家說個他細。

　　話說1512年，法國軍隊越過阿爾卑斯山，占領了意大利北部，征服者無情地燒殺搶劫，離米蘭不遠的布雷西亞城也遭到了攻擊。

　　雖然是英勇抵抗，結果還是被法國破城。不幸的居民們一起逃到大教堂避難，在神圣的教堂里是不能有暴力行為的，這是當時的一般規矩。

　　婦女、兒童、傷員都聚集在一起，指望萬能的主幫他們渡過這一關。在這擁擠的人群中，有一位十多歲的小男孩尼古拉，同他的當郵差的父親在一起。教堂里的人，心中自然是七上八下。

　　沒想到，法國兵一擁而入，見人就砍，亂沖亂殺，香煙燎繞的大教堂頓時成為血肉翻花的屠宰場。后來，尼古拉的母親在她丈夫的尸體旁找到了這個氣息奄奄的男孩。

　　小尼古拉的頭蓋骨被劈，腭部和舌頭也被砍傷，離死是不遠了。當母親的也只得把他弄回家，心想就看這孩子的造化吧。

　　沒料想他居然活了下來，沒有錢醫傷，就用嘴舔舔傷口，也算是命大。但是舌頭上的傷使尼古拉一輩子咬字不清，大家給了他一個塔爾塔里亞（結巴子）的綽號，以后久而久之，就成了他的大號，真名反而沒人記得了。

　　塔爾塔里亞的媽窮得叮?響，砸鍋賣鐵攢了點錢，就送他進了學校。他只學了15天，恐怕是沒錢交班費了，只好打道回府。

　　臨走時順手牽羊帶了本字帖（他剛剛學到字母 K），就開始了他的自學生涯。沒錢買紙筆，就在墓碑上畫畫寫寫。他不但學會了字母表中的其他字母，而且還學會了拉丁文和英文。

　　窮人的孩子懂事早，塔爾塔里亞明白，自己這傷殘之驅只怕是肩不能挑手不能提，只有靠腦瓜子掙碗飯吃了。所以他學得格外勤苦。

　　23歲那年，他開始以教別人數學來謀生，并且還能貼補貼補他母親。也許那時搞“家教”，收入還不算低。

　　后來，他離開老家，到意大利各地，最后還到過威尼斯。請他講課的倒不少，數學、技藝他都教，不過還是個窮教師，勉強度日。

　　但是這位大難不死的人總算有個機會揚名天下了。數學家弗里奧要和塔爾塔里來次數學對抗賽。

　　那時的學者們往往一有發現便嚴守秘密，然后向對手挑戰，這是一個很好的顯示實力的機會。所以這種對抗賽進行得不少了，很平常。

　　那么，弗里奧如何偏偏要找塔爾塔里亞過招呢？

　　原來，弗里奧是波洛尼亞大學數學教授費爾洛的得意門生。費爾洛教授有一樣鎮山之寶，那就是一些三次方程的解法。費爾格把他的心愛之物密傳給他的高足弗里奧和女婿。

　　那位弗里奧有此一寶，自然是萬分珍視。誰曾想在1535年，塔爾塔里亞宣布，他發現了三次方程的解法。弗里奧勃然大怒，他斷定這位自學起家的鄉巴佬是有意招搖撞騙，于是，立馬向塔爾塔里亞下了戰表，約定1535年2月22日舉行“對抗賽”，倒也挺有點像騎士的決斗，不過不是用劍，而是用筆。

　　“決斗”的這一天，雙方應該到公證人面前，每個人交給對方30道題，規定在50天里解出這些題。誰能解得多，解得快，誰贏。而且，每解一題還能得到五個銅板。

　　比賽開始前的幾天，塔爾塔里亞得到了消息，弗里奧的確知道x3十px=q這種方程的解法。

　　塔爾塔里亞不由得倒吸一口涼氣，心想，咱自己的底細自己明白，三次方程也只能解一些特殊情況。自己說都能解，那也是“廣告做得好”，小吹了一次牛。

　　不過，塔爾塔里亞很快就鎮靜下來，閉門不出，獨練解題內功。正如他自己所說的：“我運用了自己的一切努力，勤勉和技巧，以便得到解這些方程的法則。結果很好，我在規定的期限前十天，就是2月12日，就做到了這一點。”

　　“決斗”的這一天終于到來，雙方準備停當，披掛上陣，雖比不上臨潼斗寶，卻也正是華山論劍。公證人一聲令下，兩條好漢各自亮招。

　　果不其然，弗里奧出的30道題，全是x2＋px=q這種形式的方程。

　　塔爾塔里亞成竹在胸，身手不凡，兩個小時內當場做完，諸位看客驚得大跌眼鏡，感嘆之聲不斷。而那位弗里奧，在規定的50天里，對于對方給出的30道題，連一道也沒解出，全軍覆沒，大失水準。

　　塔爾塔里亞一炮打紅，名噪意大利。登門者絡繹不絕，希望他公布秘密。

　　但塔先生自然是守口如瓶，只準備以后發表在自己的大作里。

　　這時來了位波倫亞的人物卡當，此人腦子絕對好使，多才多藝，但人品卻不敢恭維。

　　卡當是那個時代最有才華的人物之一，但他那異常的性格更使人吃驚。1501年，他出生于帕維亞，是一位法官的私生子。他是個易動感情的人，性格多變，職業也多變，還是位財徒。

　　他時而醉心于數學，時而又對占星術有濃厚興趣。他對占星術酷愛到編基督的星占表，被控為邪說而監禁起來。出獄后，丟了帕維亞和波洛尼亞大學的飯碗，遷到羅馬，成為有名的占星學家。

　　據說，卡當曾預言過自己要在某一天死亡。為了保持他這個星相家的榮譽，他在1576年的那一天自殺了。

　　公平點說，卡當是有大才之人，與中國的秦九韶差不多，才優而品劣。他寫了許多學科的著作，他的最大一部著作叫《大衍術》，是專講代數的第一部拉丁文巨著。這書里的方程有了負根，甚至還談到虛數的計算。

　　這位卡當和秦九韶一樣，是位志大心大，心雄萬夫的人物，恨不得天下學問統通姓卡，所以卡當很想獲取塔爾塔里亞的神來之筆，把三次方程的秘密收羅進自己的《大衍術》。

　　他前往威尼斯，請求塔爾塔里亞告訴他這個秘密，并答應不載入自己的著作，當時自然是少不了拍馬諂媚，灌灌迷魂湯。

　　當請求遭到拒絕，卡當就從諂媚轉為猛烈的侮辱，大罵結巴子不夠意思，并又心生一計。

　　這一天，塔爾塔里亞收到了從米蘭來的信，信中說：“一位高貴的先生聽到了好多關于著名數學家的傳言，特請他前來會晤，以便當面承教。”塔爾塔里亞對這頂高帽子非常的滿意，就動身去了米蘭。哪知見到的不是“高貴的先生”，還是卡當其人。卡當再次做了拍馬屁的飽和密集轟炸，弄得塔先生暈乎乎的特舒服。

　　卡當再一次莊嚴地起誓：我在任何時候對任何人也不公開這個由于塔先生的友愛，而傳給我的這些法則和秘密。

　　塔先生感動得聲淚俱下：“如果我不信任這個誓言，那咱自己也是個不值得信任的人了。”沒說的，塔老哥立刻讓卡當老弟遂了心愿，口傳秘法。這是1539年的事。

　　過了幾年，卡當的卓越著作《大衍術》出版了，在這本書里他違背了自己的誓言，詳盡敘述了解三次方程的理論。這一招使兩位著名的數學家變成了不共戴天的仇人。

　　“我自己的代數著作中最好的裝飾品被這個賊子背信棄義地竊走了”，塔爾塔里亞氣得渾身打顫，于是向卡當下一戰表，再用傳統的對抗賽決一雌雄，并建議互換31個題，在15天內解出。

　　卡當先生哪能在這種場面露怯，立馬表示沒問題，賽就賽。塔爾塔里亞在七天里就解出對方提出的大部分題，并馬上把解法寄到米蘭。而卡當和他的弟子費爾拉里過了五個月才把他們的解送來，而且，按塔先生的看法，都是不正確的。

　　塔先生得手之后，決定再下一戰，和卡當公開辯論，以大白真相于天下。他宣布：“要求我的對手卡當和費爾拉里于1545年8月10日上午5時，在米蘭市圣瑪利亞教堂舉行公開學術辯論。”

　　指定的時刻到來了，只有費爾拉里一人出席。按塔先生的描繪，他是一個有著“優美的聲音，招人喜歡的面孔，巨大的才能和魔鬼般性格的青年人”。

　　塔先生獨在異鄉為異客，只和他兄弟兩人單刀赴會，而那邊卻是戰將如云，氣勢上已是勝他一籌。辯論開始了，塔爾塔里亞首先證明卡當所解的一個題目不正確，并想轉入正確的解法，卻不料費爾拉里那幫人立刻起哄。塔先生請求先讓他把話說完，可是徒勞無益。

　　費爾拉里馬上搶上講臺，在找出塔爾塔里亞的一個錯誤之后，就開始了冗長的談論。他說卡當是從某種渠道從費爾洛那里得知方法的，并反訴塔先生剽竊費爾洛的成果。也難怪，當時他們都是私相授受，誰能弄得清這筆糊涂帳。

　　時間拖到了吃中飯，教堂也很快空無一人。辯論本當在第二天繼續，可塔爾塔里亞看看勢頭不妙，卡當很可能雇黑道人物對自己下毒手。

　　于是在夜里，塔爾塔里亞和他的兄弟用雨衣裹住身子，惶惶如喪家之犬，急急如漏網之魚，逃出米蘭了。

　　歷史對塔先生似乎也不太公平，那著名的解三次方程的公式長久地叫做“卡當公式”。歷史也有點欺負老實人。不過現在人們都稱為“塔爾塔里亞-卡當公式”了。

　　塔爾塔里亞自己也不是無可非議、完全老實。他出版的阿基米德著作的一些譯本，實際上是抄別人的；他自稱發現了斜面上物體的運動規律，那也是掠人之美。

　　卡當是這么想的，如果通過換元，把平方項消去，不就變成了塔爾塔里亞的形式了嗎？這樣一種化歸的思想，化未知為已知，是數學上常用的方法。

　　他的學生費爾拉里，通過更復雜一點的變換，得到了四次方程的求根公式。

　　費爾拉里的變換，可以把一個四次方程，變成三次方程，這樣就得到了答案。很自然地，大家都在想，那么用變換的方法，把五次方程化成四次，或者更高次的化成低次的，那么，所有高次方程的求根公式，不都是能得到嗎？

　　大數學家歐拉，在 1750 年作過這種嘗試，結果失敗了，30 年后，另一位數學家拉格朗日也嘗試了一下，也失敗了。

　　后來人們才發現，一般的五次或五次以上的方程，是求不出、給不出一個像二次、三次方程那樣的求根公式的。

　　大伙看到此處，不免有些疑問，容我詳細說明：

　　這求不出、給不出求根公式，并不是說任一個五次以上的方程都是這樣，一些特殊的高次方程，比如說大家就能給它一個求根公式。而對于一般的五次、六次等等，你可就做不到這一點啦。此其一也。

　　其二，沒有一個一般的求根公式，并不說明方程沒有根，方程的根還是存在的。方程的根一定存在，這需要證明；而任一個幾次方程到底有多少根，也很值得研究。這兩個問題以后都得到了完滿的解決，此是后話。

　　這第三點，大家不免會問，前一回中不是說過，中國的秦九韶、朱世杰，不都是解過五次以上的高次方程嗎？尤其是那秦先生，更解過一個高達十次的方程，令咱們吃驚。那么，中國當時的解法，是不是僅僅對一些特殊的高次方程而言的，沒有一般性？

　　不是這樣。中國的解法能解出任何一個高次方程來（有實根的）。那么這與剛剛說過的五次以上的高次方程沒有一個一般的求根公式，矛盾不矛盾呢？

　　一點不矛盾，兩者考慮問題、解決問題的方法完全不一樣。

　　那西洋塔爾塔里亞、卡當一路的方法，是先得出一個一般的求根公式，以后的使用和求解就方便了，把具體的方程的系數代入公式，一次性解決問題。想法好是好，只不過碰到五次以上就卡了殼，得另想招了。

　　這中國的想法，從《九章》那兒開始，就是所謂“開方術”這三個字，開平方、開立方、開四次方等等，咱們中國研究得都很透徹。而這種方法解高次方程的實質，是一種所謂迭代的思想。也就是先估算出一個近似的根，而后根據給的方程和法則得一個迭代公式，將近似根代入公式而得出新的近似值，再代入，再得之，使得這個近似根一步比一步更精確。

　　有人說，哪有公式法求根來得好。其實，真正實用的還是這種迭代法，何況五次以上的方程還根本沒有求根公式呢。

　　迭代法是現代計算方程根的一種主要方法，因為根據迭代的公式，很容易編成程序，上計算機運算。咱們中國用來解高次方程的那種“開方術”，就和600年后牛頓迭代法是完全一樣的。

　　這解方程、討論方程的解，一直到19世紀，都是代數學的主要問題，甚至變成了唯一的問題。不過咱們都知道，代數要真正地從算術中獨立，要使人相信代數得出的結果也像幾何那樣可靠，要使代數也變得嚴密，變得有規律，那么，一套完整簡單的符號，是非常重要的。

　　咱們都知道，這代數的符號系統，大致經歷了三個發展階段。而那希臘亞歷山大時期的丟蕃都老先生，還有咱中國的秦九韶、朱世杰諸前輩，都把這符號發展到一定的高度，但是還不夠簡潔，還沒有徹底符號化，所以只能算是第二個階段，初級階段。

　　而韋達（1540—1603），這個咱們每位中學生都熟悉的數學家，在這方面就做出了更大的貢獻。也許咱們能說，是韋達才真正把代數從算術中分開。

　　韋達先生是個專業律師，研究數學是他的業余愛好。早先，一開始，韋達最大的興趣是從政，治國平天下。所以就在議會里工作過，還當過一位親王的樞密顧問官。

　　后來，在 1584年，韋達先生下了野，歸耕垅畝，就安心專門搞了五六年數學，還自費出版了自己的著作，這也是顯示揚名的好機會。

　　關于韋達，倒也有些趣事。有一位國家的大使向國王亨利四世夸口，說法國沒有一位數學家能解決他的同國人提出的需要解45次方程的問題。于是韋達被召入王宮，幾分鐘內就給出了兩個根，后來又求出了21個根。他把負根漏掉了。

　　韋達大揚國威，也使那位提出問題的數學家大為佩服，親自騎著牲口長途跋涉拜訪韋達先生，兩人切磋學術，大有相見恨晚之慨。

　　韋達的才能在治國安邦上大展宏圖。那時法國和西班牙開仗，韋達破譯了西班牙的密碼，使得法軍對西班牙的動態了如指掌，不到兩年功夫就打敗了西班牙。

　　可憐的西班牙菲力普三世，敗了還不知道怎么敗的。弄得一頭霧水犯迷糊，還向教皇告御狀，說法國在對付西班牙時用了魔法，與基督教的慣例不符合。

　　那么韋達在符號方面究竟有多大的貢獻呢？在韋達以前不也有不少人，比如丟蕃都、卡當、秦九韶、朱世杰等等，不也用了符號表示嗎？

　　這話說得也不錯。但是韋達之前，一般用不同的字母，表示一個未知量的各次冪；而韋達用同一個字母，而把它的各次冪適當用其他符號說明一下。

　　更不一般的是，以前未知量的系數都只能是常數。比如咱們前面看到過

　　實際在塔爾塔里亞那會兒，系數和常數不是寫成p和 q，而是一些具體的數字。咱們不過為了說話的方便，反映反映塔爾塔里亞解法的實質，把這些具體的數字寫成字母p和q。

　　把系數用字母表示出來，就有了一般性，意義可就不一般了。

　　韋達充分體會到這一點，他充分認識到，如果一元二次方程寫成 ax2＋bx＋c=0，那么所處理的就不是一些單個的二次方程，而是整整一類，所有的一元二次方程！

　　他曾經這么說過，代數，是處理一類事物、一類形式的運算方法；而算術，是同數字打交道的。這樣，代數就一下子成為研究一般類型的式子和方程的學問啦！一般情形可就包括了無窮多的特殊情形，咱們的思維就真正能機械化了，而不是見一種特殊情況，想一種招術。

　　代數真正的獨立出來了。當然，符號的完善和簡化，還要進一步的努力。現代數學的帷幕已經拉開，序曲已經奏響，波瀾壯闊千變萬化既廣泛又深入既抽象又生動的數學大潮在向我們涌來。讓咱們迎接這個偉大時刻的到來吧。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。