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米蘭芬算燈

來源:中國數學教育網 2008-02-22 10:41:38

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    李汝珍,清代人,是個“學無所不窺”的才子,可能是學問鉆研多了,所以官場上卻甚不得意。他寫了好幾本書,《鏡花緣》是流傳最廣的一本。此書中描寫了一位精通算學的才女“磯花仙子”名叫米蘭芬。
 
  米蘭芬和眾姐妹在宗伯府聚會,來到小鰲山樓上觀燈。樓上的燈形狀有兩種,一種燈是上面三個大球,下綴六個小球,一種燈是上面三個大球下面十八個小球。樓下的燈也有兩種,一種是一個大球綴二個小球,一種是一大球綴四個小球。知道樓上有大燈球396個,小燈球1440個,樓下有大燈球360個,小燈球1200個。

  才女們要米蘭芬計算,樓上樓下的四種燈各有多少盞?

  米蘭芬說:“以樓下論,將小燈球數折半,得600,減去大燈球數360,即得綴四個小燈球的燈數為240,用360減240得120,即得綴二個小燈球的燈數為120。此用‘雞兔同籠’之法!庇猛瑯拥姆椒ㄋ銟巧蠠魯担骸耙1440折半,得720,720-396=324,324÷6=54。得綴十八個小燈球的燈數為54。用396-54×3=234,234÷3=78。即綴六個小燈球的燈數為78!

  這里說的“雞兔同籠”法,是指的我國古代的一種類型題目,比如在一個籠中關有雞與兔,數頭有100個,數腳有240只。問雞、兔各有多少?

  對此題,有一個簡單巧妙的算法,就是:如果讓雞都縮起一只腳,“金雞獨立”站著;讓兔子全部抬起二只前腿,只用二只后腿站著,這時,再數腳數,就應是240除以2,得120只腳。

  如籠中全是雞,由于此時數雞時,每只雞都是一頭一腳(另一腳縮起來了)。故100只雞應只有100只腳,現在卻有120只腳,多的20只腳是那兒來的呢?原來每只兔子都要多數1只腳,這就說明兔子數是20,而雞數則是80。

  現在你明白了米蘭芬的算法了吧!比如說樓下的燈,一大球下綴二小球,就相當于“一只雞有二只腳”,一大球下綴四小球就相當于“一只兔有四只腳”。所以,用“雞兔同籠”之法就算清楚了。

  至于樓上的燈,小球數折半,就相當于把燈改制成“每燈三個大球,下綴三個小球”和“每燈三個大球,下綴九個小球”這兩種。如果都是前一種燈,則大小燈球數應相等。現小球數為720(=1440÷2),大球數396,多出324個小球。是因為每盞第二種燈小燈球多出6個的原因,從而用324÷6=54,即其中有54盞第二種燈,第二種燈共用大燈球162個,故第一種燈用大燈球234個,除以3得78,就是第一種燈數了。

  朋友,如果換了你來解決這道題,你又會怎么做呢?

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