計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)典例題六

　　例．現(xiàn)有10個(gè)完全相同的球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)球，問(wèn)共有多少種不同的分法?

　　【解析】：題目中球的分法共三類(lèi)：

　　第一類(lèi)：有3個(gè)班每個(gè)班分到2個(gè)球，其余4個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù)為。

　　第二類(lèi)：有1個(gè)班分到3個(gè)球，1個(gè)班分到2個(gè)球，其余5個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù)。

　　第三類(lèi)：有1個(gè)班分到4個(gè)球，其余的6個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù)。

　　所以，10個(gè)球分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)球的分法種數(shù)為：。

　　由上面解題過(guò)程可以明顯感到對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)計(jì)算，比較繁鎖，若是上題中球的數(shù)目較多處理起來(lái)將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式解決問(wèn)題，我們創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的情境——插板。

　　將10個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空檔，現(xiàn)在我們用“檔板”把10個(gè)球隔成有序的7份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)），借助于這樣的虛擬“檔板”分配物品的方法稱(chēng)之為插板法。

　　由上述分析可知，分球的方法實(shí)際上為檔板的插法：即是在9個(gè)空檔之中插入6個(gè)“檔板”（6個(gè)檔板可把球分為7組），其方法種數(shù)為。

　　由上述問(wèn)題的分析解決看到，這種插板法解決起來(lái)非常簡(jiǎn)單，但同時(shí)也提醒各位考友，這類(lèi)問(wèn)題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：

　　①所要分的元素必須完全相同；

　　②所要分的元素必須分完，決不允許有剩余；

　　③參與分元素的每組至少分到1個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。