1. 一個(gè)回文數(shù)是指從首位數(shù)讀到末位數(shù)，與從末位數(shù)讀到首位數(shù)都相同的數(shù)（例如：11511，22222，10001）。請(qǐng)問(wèn)可被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)與全部五位數(shù)的回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比是多少？答案請(qǐng)用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示。

　　解答：五位回文數(shù)的一般形式為ABCDE，所以五位回文數(shù)共有9×10×10=900個(gè)。若五位回文數(shù)能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數(shù)，即2a+c－2b=11，2a+c－2b=22，2b－（2a+c）=11或2b=2a+c。

　　若2a+c－2b=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時(shí)，a－b=5，b=0，1，2，3，4；當(dāng)c=3時(shí)，a－b=4，b=0，1，2，3，4，5；當(dāng) c=5 時(shí)，a－b=3，b=0，1，2，3，4，5，6；當(dāng)c=7時(shí)，a－b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7；當(dāng)c=9 時(shí)，a－b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8。共35個(gè)數(shù)。

　　若2a+c－2b=22，則c為偶數(shù)，且不小于4，當(dāng)c=4時(shí)，a－b=9，b=0；當(dāng)c=6時(shí)，a－b=8，b=0，1；當(dāng)c=8時(shí)，a－b=7，b=0，1，2。共6個(gè)數(shù)。

　　若2b－（2a+c）=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時(shí)，b－a=6，a=1，2，3；當(dāng)c=3時(shí)，b－a=7，a=1，2；當(dāng)c=5時(shí)，b－a=8，a=1；c=7或9時(shí)，a和b無(wú)法同時(shí)為1位數(shù)，所以共有6個(gè)數(shù)。

　　若2b=2a+c，則c為偶數(shù)，當(dāng)c=0時(shí)，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9；當(dāng)c=2 時(shí)，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8；當(dāng)c=4時(shí)，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7；當(dāng)c=6 時(shí)，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6；當(dāng)c=8時(shí)，b=a+4，a=1，2，3，4，5。共35個(gè)數(shù)。

　　所以能被11整除的五位回文數(shù)有35+6+6+35=82個(gè)，與全部五位回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比為41/450

　　2.兩個(gè)班各出3名學(xué)生組成一隊(duì)，參加接力賽，要求同班的三個(gè)人不全相鄰，則共有多少種排列方法？

　　3.有10張撲克牌，點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，…，9，10。從中任意取出若干張牌，為了使其中必有幾張牌的點(diǎn)數(shù)之和等于15，問(wèn)最少要取多少?gòu)埮?

　　解答：若只取5張牌，有可能不滿(mǎn)足條件，例如1，2，8，9，10。因此，最少取的張數(shù)不小于6。下面證明6可以滿(mǎn)足條件。

　　可以將5-10分成3組：{5，10}，{6，9}，{7，8}，每組至多選一個(gè)

　　則若在1，2，3，4中任意選三個(gè)數(shù)，它們的和一定在上面三組數(shù)中，即6個(gè)數(shù)必有若干個(gè)之和為15。

　　4.從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數(shù)（至少選一個(gè)，不能不選），使它們的和為4的倍數(shù)，一共有幾種方法？

　　解答：先從3,4,5,6,7,8中隨便選幾個(gè)（可以不選）。之后根據(jù)在3,4,5,6,7,8中選出數(shù)的和除以4的余數(shù)來(lái)決定選不選1,2，方法如下：若那個(gè)和除以4 余1則1,2都選；余2則選2不選1；余3則選1不選2；余0則都不選。這樣總共有2的6次方共64種方法，但是其中有一種一個(gè)數(shù)都不選的方法，需要去掉，故滿(mǎn)足條件的選法有63種。

　　5.一根繩子，對(duì)折4次后，在三個(gè)四等分點(diǎn)上各剪一刀將繩子剪成了若干段小繩子，這些小繩子有兩種長(zhǎng)度．　其中，較長(zhǎng)的有多少條？較短的有多少條？

　　解答：對(duì)折4次后，共16層，剪斷后繩子的端點(diǎn)共有16×2×3+2=98個(gè)，而每條繩子有2個(gè)端點(diǎn)，所以此時(shí)共有49條繩子。而兩端的連接處共有1+2+4+8=15個(gè)，則較長(zhǎng)的繩子有15條，較短的有49—15=34條。

　　6. 一容器內(nèi)有濃度為40%的糖水，若再加入20千克水與5千克糖，則糖水的濃度變?yōu)?0%。這個(gè)容器內(nèi)原來(lái)含有糖多少千克？

　　解：實(shí)際上加入的是濃度為5/(20+5)×100%=20%的糖水，即用40%的糖水與20%的糖水混合得到30%的糖水。由此可知，原來(lái)40%的糖水也有25千克，所以原來(lái)含糖25×40%=10千克。

　　7. 在下面的“□”中填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：

　　（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992

　　解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）

　　=83×3×8

　　=1992

　　或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）

　　=83×2×12

　　=1992