讓數(shù)學課堂更有“思想”

　　【內(nèi)容摘要】數(shù)學思想，是指人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，它直接支配著數(shù)學的實踐活動。數(shù)學方法是指某一數(shù)學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數(shù)學思想是數(shù)學方法的靈魂，數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段。因此，人們把它們稱為數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，是數(shù)學知識遷移的基礎和源泉，是溝通數(shù)學各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，學生只有領會了數(shù)學思想方法,才能有效地應用知識,形成能力，在數(shù)學教學中要注重滲透數(shù)學思想方法。

　　【關 鍵 詞】數(shù)學思想   數(shù)學教學  滲透  層次性  閱讀  遷移

　　“數(shù)學的內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然學科和社會學科，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”。數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，是數(shù)學知識遷移的基礎和源泉，是溝通數(shù)學各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構建數(shù)學理論的基石，是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一。眾所周知，學生畢業(yè)后成為專業(yè)數(shù)學工作者的微乎其微，直接應用數(shù)學的人只占一小部分，絕大多數(shù)人在工作中不用數(shù)學。可以說，我們在生活、學習和工作中應用的不僅僅是數(shù)學知識，更多的是數(shù)學思想方法。學生只有領會了數(shù)學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力。在我們解決問題、進行數(shù)學思維時，也總是自覺或不自覺地運用數(shù)學思想方法。因此，在數(shù)學教學中要注重滲透數(shù)學思想方法。

　　數(shù)學思想方法是借助于數(shù)學知識、技能為載體而體現(xiàn)出來的，思想要融入內(nèi)容和應用中，才成為思想，就思想方法講思想方法，學生會感到枯燥無味，是不能真正掌握數(shù)學思想方法的。只有在教學中反復多次滲透，方能“隨風潛入夜，潤物細無聲”，讓學生在不知不覺中領會、掌握，才能自覺運用，形成能力。

　　一、滲透“方法”，了解“思想”。

　　知識是思想的“軀體”，思想是知識的“靈魂”。

　　《數(shù)學課程標準》中提出的目標是學生在學段末最終應達到的目標，而由于初中學生數(shù)學知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，對相應知識的理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。因而只能將數(shù)學知識作為載體，把數(shù)學思想方法教學滲透到數(shù)學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視學生知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，逐級遞進，從而發(fā)展他們的科學精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運用新知識解決問題。

　　事實上，許多重要的數(shù)學思想方法，即使是對同一學段的學生而言，也不是一次可以學成的。教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數(shù)學思想方法的應用，而且要激發(fā)學生學習數(shù)學思想方法的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在教學中，要認真把握好 “了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數(shù)學思想抽象難懂，高深莫測，從而導致他們喪失信心。

　　二、訓練“方法”，理解“思想”。

　　數(shù)學教學內(nèi)容始終反映著數(shù)學基礎知識和數(shù)學思想方法這兩條線。數(shù)學教材的每一章內(nèi)容，都體現(xiàn)著這兩條線的有機結合。這是因為沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學方法，也沒有不包含數(shù)學思想方法的數(shù)學知識。而在數(shù)學課上，由于能力、心理發(fā)展的限制，學生往往只注意了數(shù)學知識的學習，而忽視了聯(lián)結這些知識的思想、觀點，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略。即使有所覺察，也是處于“朦朦朧隴”、“似有所悟”的境界。如學生學習用換元法解分式方程，對換元法的理解是按教師要求，設未知數(shù)，換元，解換元后的方程等解題步驟。學生把換元法當作解題步驟來記憶，而未能體會出換元思想是數(shù)學中的常用的思想方法。

　　因此教師在數(shù)學課堂教學時，必需對學生進行有意識的啟發(fā)。如用字母表示數(shù)，這是中學生學好代數(shù)的關鍵一步，要跨越這一步是有一定的困難的。從算術到代數(shù)，思維方式上要產(chǎn)生一個飛躍，有一個從量變到質(zhì)變的發(fā)展過程，學生始終認為“a是正數(shù)”，“兩個數(shù)的和大于其中任何一個加數(shù)”等，對“字母表示數(shù)，它可以代表任何一個數(shù)，像已知數(shù)一樣參加運算”很不習慣，往往只見樹木，不見樹林。我們應盡量幫助學生縮短這個“悟”的過程，在教學中多次滲透，不斷強化，逐步完成學生從數(shù)到式，由普通語言到符號語言，由特殊到一般，由具體到抽象的飛躍。

　　又如，滲透化歸思想。化歸，是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法，轉化的思想在數(shù)學教學中應貫穿始終。教材中，把有理數(shù)減法、除法轉化為加法與乘法，把復雜的一元一次方程化為標準方程，把多元方程組化為一元一次方程，把高次方程化為低次方程，把分式方程化為整式方程，由無理方程化為有理方程，將復雜圖形轉化為簡單圖形，將未知化為已知，等等，都體現(xiàn)了化歸的思想方法。在教學中根據(jù)學生的認知結構，結合具體內(nèi)容，探索轉化方法，滲透轉化思想，逐步養(yǎng)成學生迎難而上，化難為易的品質(zhì)，這種品質(zhì)的形成可以讓學生受益終身。

　　再如，函數(shù)思想是一種對應思想，從初中到高中教材中不斷地進行深化，學生的認知水平也在不斷提高。教材從初一就開始不斷滲透函數(shù)的思想觀點和方法。如，當x=2時，求代數(shù)式3x+2的值，還可變?yōu)楫攛=2，3，4…時求代數(shù)式的值，讓學生體會，隨X的不斷變化，代數(shù)式的值也隨著變化。反過來，當代數(shù)式值 3x+2為零時，求x的值，就變成了方程；當x為哪些值時，代數(shù)式3x+2的值大于（小于）零，就變成了不等式。從而可用函數(shù)思想把這三者統(tǒng)一起來，經(jīng)反復多次滲透，學生的理解水平不斷提高。到了初三學生對用兩變量之間的對應關系來定義函數(shù)，乃至到高中用兩集合的映射來定義函數(shù)，已不再感到抽象陌生。

　　三、掌握“方法”，運用“思想”。

　　數(shù)學的思想方法蘊含在教材的內(nèi)容中，只有吃透內(nèi)容，才會領會基本思想，學會其中的方法。

　　很多學生只把課本當成習題集，很少看書，這就很難領會其思想。常言道：“書讀百遍，其義自見”。只有讀透內(nèi)容，才能知其義，曉其理。通過閱讀可培養(yǎng)學生的閱讀、分析、思考問題的習慣，促使學生在實際情景和數(shù)學知識之間找到一個切入口，達到“此時無聲勝有聲”的效果，從而學會數(shù)學語言。通過使用數(shù)學語言進行聽、說、讀、寫、譯的活動，就可以流暢地用數(shù)學語言進行交流，促進學生會用數(shù)學思想方法去思考問題，解決問題。

　　如北師大版八年級下冊的課題學習——《制作視力表》，引導學生閱讀時，要求學生探究視力表中蘊含的數(shù)學知識，體會視力表的制作原理外，還要求學生體驗從數(shù)學的角度觀察、分析現(xiàn)實生活中的某些現(xiàn)象，初步形成“用數(shù)學”的自覺意識。又如，“關于圓周率∏”，除了讓學生體會我國古代數(shù)學家劉微、祖沖之在圓周率方面的偉大成就外，主要的是讓學生在閱讀中體會極限思想，同時也讓學生明白，數(shù)學的創(chuàng)造與其它學科知識的創(chuàng)造類似，在得到一個正確結論之前，常常經(jīng)歷過猜想、實驗、驗證、歸納、總結等過程，是通過無數(shù)次失敗而換得的成功。

　　總而言之，教師在進行教學時應站在學生的角度來優(yōu)化教學過程，充分考慮學情，給學生以閱讀、思考、交流的機會，適時讓學生體悟數(shù)學思想方法，長期堅持下去必將會極大地喚起學生的主體意識，同時課堂也將充盈著春天般的生命力。

　　四、提煉“方法”，完善“思想”。

　　教學中要適時恰當?shù)貙��?shù)學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。由于數(shù)學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學思想、方法來解決。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養(yǎng)學生自我提煉、揣摩概括數(shù)學思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學思想、方法的教學落在實處。在教學中，抓住機會，適時滲透。教學知識的發(fā)生過程，實際上也是思想方法的發(fā)生過程、思考過程。因此，概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的發(fā)現(xiàn)過程、規(guī)律的被揭示過程都蘊藏著向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法、訓練思維的極好機會。

　　柏拉圖說：他從不把自己看作一個幫助別人產(chǎn)生他們自己思想的“助產(chǎn)士”。學習有一條很重要的原則，就是不可替代的原則。對于數(shù)學思想方法的學習也不能僅僅靠灌輸。應將概念、結論性知識的教學設計成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的教學。通過探索研究活動，讓學生在動腦、動手、動口的過程中領悟、體驗、提煉數(shù)學思想方法，并逐步掌握、運用它。

　　教材中為滲透數(shù)形結合思想，在七年級“有理數(shù)”一章中就先入為主，充分利用數(shù)軸，直觀形象地給出了有理數(shù)的有關概念及運算。列方程解應用題中通過列表、圖式，可使隱含的等量關系明朗化。到了八年級，隨著無理數(shù)的引入，運用數(shù)形結合的思想，學生對“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應”就很容易理解。勾股定理及其逆定理以及直角三角形相似的判定，教材中教師用代數(shù)的方法證明的，旨在體現(xiàn)數(shù)形結合的思想。說明代數(shù)的內(nèi)容也可以用幾何去解釋，同時幾何的問題也可以用代數(shù)來證明。總之，從數(shù)、式、方程、不等式到函數(shù)、解直角三角形、圓，無不閃爍著數(shù)形結合思想的光輝。在教學中，充分利用教材內(nèi)容，不失時機地把數(shù)與形結合起來，即把數(shù)的精確性與形的直觀性結合起來，可以收到意想不到的效果。如下面一道“標準”的代數(shù)題對初三參加興趣小組的同學就很有啟發(fā)。

　　例：求　　+    +    + ……+    的和。

　　這是高中的數(shù)列求和問題，對初中學生來說有難度，但如果設計一種情境：用一個長為1的棒，先截去　　，在截去剩下的　　，依次進行，求截去的棒的總長。借助這一圖形直觀運用數(shù)形結合的思想。學生就有了思考的依據(jù)，就會想出求截去的棒長的方法：

　　截去的長                  剩下的長

　　1—    =

　　×            　　　     —     =

　　×             　    —    =

　　……                   ……

　　于是   +     +    +……+    =（1—   ）+（   —   ）+……+（    —  ）=1—

　　如果變?yōu)椋阂粋�長為1的棒，先截去   ，再依次截去剩下的    ，   ，……，這樣進行n次，求截去棒子的長。和上例一樣，不難得到結果為1—   。

　　如果把這一情境再變?yōu)橐来谓厝ナＯ碌?nbsp;  ，  ，  ，  ……，      ，求截去的棒長，則又可得到：   +     +  ……+      =1—

　　這一結論的取得對高中生也不容易，但只要跟初中學生講清n!=n×(n-1)×……×3×2×1，運用數(shù)形結合的思想，增加學生的思考空間，初中生一樣能夠獲解，這一切得益于數(shù)學思想方法的升華，以及數(shù)學能力的提高。正如波利亞強調(diào)：在數(shù)學教學中“有益的思考方式、應有的思維習慣”應放在教學的首位。加強數(shù)學思想方法教學，必然對提高數(shù)學教學質(zhì)量起到積極的作用。一旦掌握數(shù)學思想方法，學生對知識的理解更深刻，記憶更長久，思維更靈活，遷移能力更強，使學生體驗到數(shù)學活動的價值和樂趣。

　　數(shù)學思想方法具有概括性、統(tǒng)攝性、導向性，站在“以學生的發(fā)展為本”的角度來看，在滲透數(shù)學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學生領悟蘊含于數(shù)學之中的種種數(shù)學思想方法。在教學中適時適度滲透數(shù)學思想方法將對培養(yǎng)學生“終身可持續(xù)發(fā)展”的能力有極大的好處，也是提高學生素質(zhì)的一個有效途徑和措施。

　　【參考文獻】：

　　【1】孔企平、張維忠、黃榮金編著《數(shù)學新課程與數(shù)學學習》北京高等教育出版社,2003.11.

　　【2】劉兼、孫曉天主編，《全日制義務教育數(shù)學課程標準解讀》北京師范大學出版社,2002.5.

　　【3】林崇德著《學習與發(fā)展》   北京師范大學出版社  1999. 7

　　【4】張永強《淺談數(shù)學思想方法對數(shù)學教學的作用》   甘肅教育   2006年10期