內容摘要：教學理論和實踐總是存在一定的差距，因此作為一線的教師普遍形成了一種錯誤的認知：即理論總是不切實際的，因而對理論具有一種反感的心態，理論學習也始終不能在一線教師中得到極大的認同。本文通過學生對一道習題的錯誤認知，就其知識表征方式、認知結構、情緒因素等方面進行了深入透徹的理論分析，并依據理論分析提出了一系列的補救措施。試圖為一線教師如何運用理論指導實踐提供一個范例，一種思路，使教師對教學中存在的一些常見問題有著更為深入的認識，并能初步形成自覺地運用理論指導實踐的意識和習慣。

　　關鍵詞：習題分析  認知結構  知識表征  診斷與措施

　　問題的緣起

　　今年暑期，由于工作調動，我來到了地處縣城東南邊的一所學校——大通小學工作。這里的鄉村氣息濃郁，校園環境更是清雅、優美。但由于歷史原因，且地處偏僻，學校的教育教學質量處于一種不理想的狀態。

　　為了更深入地了解學校具體的教學情況，我帶了一個畢業班的數學教學，共43名學生，其中19名女生，原以為憑著自己十幾年的數學教學經驗，平時又不斷地學習領悟新課程的理念，對付一個班應該是馬到成功的。但沒曾想一不小心，馬失前蹄，二個星期后的單元測試成績十分令人不滿意，其中這道題的錯誤率更引起了我的強烈注意。

　　一種商品現價200元，比原價降低了50元，求降低了百分之幾。下面算式中正確的是（    ）

　　A、50÷200    B、50÷（200－50）  C、50÷（200+50）  D、（200-50）÷200

　　從統計數據看，此題的錯誤率竟然高達95%以上，其中選擇A的約占8%，選擇D的約占37%，選擇B的竟達50%左右。

　　分析與診斷

　　也許對這個班級的具體情況還不夠熟悉吧！面對這樣的困境，我陷入了沉思：問題究竟出在什么地方呢？等靜下心來重新審視這份做得并不怎么好的試卷時，發現其他錯題也與此題有著本質的類似，例如“某班有男生26人，女生比男生少4人，求女生是男生的百分之幾”等等，其中以此題的表現最為突出。通過仔細的分析以及與學生的訪談、輔導，發現主要有以下幾方面的原因：

　　一、學生對知識的表征不清晰、不穩定

　　具體表現在有將近50%的學生選擇了B，分析其中的原因，發現關鍵在于學生原有知識出現了斷層，即二年級所學習的比多比少的概念至今還存在普遍的問題。應該說在構成學科能力知識結構的發展過程中，由于個別知識或者說是關鍵知識點的缺乏和薄弱，可以導致整體能力的下降，即“一節痛，百節不用”（孫臏兵法語）。因此我特地出示一組比多比少的練習題讓學生在規定時間內完成，其中既有順敘題，也有逆敘題。

　　六（1）班男生25人，女生比男生少3人，女生有多少人？

　　劉大伯家去年的大棚蔬菜收入8000元，今年比去年增加收入1200元，今年收入多少元？

　　普通青椒平均每個重90克，太空青椒每個比普通青椒重70克。太空青椒每個重多少克？

　　今年爸爸的年齡是37歲，比媽媽小3歲，媽媽的年齡是多少歲？

　　火車的速度是70千米，比汽車快20千米，汽車的速度是多少千米？

　　某廠六月份的產值是600萬元，比七月份多50萬元，七月份產值是多少萬元？

　　某廠六月份的產值600萬元，七月份比六月份多50萬元，七月份產值多少？

　　……

　　從學生的答題情況看，發現對于順敘題的解答還算比較順利、正確的。一旦進入逆敘題，學生的錯誤率就突然增加，當兩類練習題放在一起時，學生對比多比少的表征出現了明顯的混亂現象。這說明學生原有知識的可辨性、穩定性、牢固性均存在問題。當我要求學生能否借助圖畫或者線段圖進行表示時，學生幾乎感到無從入手。應該說兒童的認知發展一般要經歷三個階段：動作表征——圖像表征——符號表征，以上現象反映了學生在經歷比多比少的概念學習時，前兩個階段尤其是表象操作方面缺乏必要的感悟和練習，因此造成學生直接進入符號操作時引起認知上的障礙，進而影響到后續的學習。

　　其次從上面一組的對比練習中筆者還發現，學生對知識表征的清晰度往往與他對信息的熟悉程度有關，即學生的陳述性知識表征不良也在很大程度上引起認知困難。對熟悉的、能聯系學生已有知識和生活經驗的問題情景學生能馬上進行信息的處理。但對于某一陌生知識的表征，學生表現出由于表征不清而導致認知上的困難。上面一組練習題中，學生對于開頭的幾題反應快速，但后面幾題情景離學生的生活經驗越來越遠，對學生的抽象性思維要求較高，結果往往使學生在學習中陷入死角而不能自拔。

　　二、學生沒有建立良好的認知結構

　　認知結構的缺陷很容易造成學生的認知障礙，由于剛來到這所學校，對其數學教學的整體情況還不夠熟悉，尤其是學生大腦中原有的數學語言與我的數學教學語言特色的相似性小，差異性大，直接造成了學生聽課困難的現象，師生之間不能進行有效的互動，導致同化困難，更談不上有效的順應。因此形成這么一種現象：即學生在課堂上勉力記憶教師所傳授的知識，其意義的表征和牢固程度都受到不同程度的影響，從而不能實現有意義的學習。

　　后來與學生的課余談話中證實了這一情況，學生由于與老師接觸的時間不長，因陌生而不敢質疑詢問，因此當學生出現認知上的困難時，要么到同學那邊去請教，要么到同學那里去抄襲答案，甚至有一部分學生自己買了一本類似教學參考書的《跟我學數學》直接將答案抄上去（筆者由于開學工作忙而未顧得上班內的狀況）。所有這些給老師的一個假象是學生掌握得基本上差不多了。

　　其次，學生認知結構中很明顯表現出對知識的抽象概括程度不高。而擁有抽像和概括程度高的知識結構，意味著學生能夠站在一定的高度對信息進行居高臨下的處理，也更能對知識進行廣泛的遷移。例如就這一題而言，事實上涉及對兩個數量的雙重比較，而“比較”這一個概念就小學范圍的知識來講一般有兩種情況，一是兩數之差，一是兩數之商。無論從課堂還是課外的交談中，學生似乎都不甚了解“比多比少”就是求“兩個數的差”，換句話說，在學生的認知結構中“差”作為“比多比少”的上位知識并沒有被學生體驗到，對于“商”的比較也有著同樣的情況。此外在此題中無論是 “比多比少”還是 “求百分之幾”，都需要尋找一個標準量才能進行比較，這一點在學生初次學習比多比少時因為沒有深刻的體驗，造成了學生在學習百分數時存在原有知識點缺乏的問題，用奧蘇貝爾的話來說，就是沒有找到一個有效的原有知識固定點。

　　第三，程序性知識沒能達到自動化的程度

　　下面是教師針對選擇答案A、D的學生進行輔導訂正時的一段談話：

　　師指著題目：“解決這道題我們應該從哪里入手？”

　　生：“關鍵句。”

　　師：“你能把它找出來嗎？”

　　生：“降低了百分之幾？”

　　師：“看到這樣簡單的語句，我們首先應該做一件什么事？”

　　學生明顯停頓了一下，說道：“嗯！應該補充完整，也就是應該是現價比原價減低了百分之幾？”

　　師：“這句話是什么意思呢？你能進行分析嗎？”

　　生猶豫了一下，但最終還是說出了自己的分析：“這里將原價作為單位“1”平均分成若干份，減低的占了其中的幾份，就是用減低的除以原價。”

　　師：“對啊，既然你已經得出了思路，那么降低的是多少，原價又是多少呢？條件中有沒有告訴我們呢？”

　　……

　　可以說這樣的現象有時令很多老師感到喪氣，甚至百思不得其解。學生似乎明明懂得怎樣解題，為什么一定要在教師的提問下才能解答出來呢？為什么學生單獨面對此類題目時就是不會解答呢？仔細想來，除了學生有一定的思維惰性外，其實更為本質的是老師的提問等于為他提供了思考的路線，換句話來說，學生不知道從哪里開始，又從哪里結束。學生在這項認知過程中所喚醒和需要的是一種程序性知識，而程序性知識是以“如果/那么”的規則進行表征的的，心理學家從計算機科學中借用了產生式這個術語，把這種表征規則稱之為產生式。一旦滿足了一定的條件，便產生活動，這里不僅僅指的是學生的外部活動，更重要的是通過內心活動對符號進行的操作來產生思維加工活動。如果學生具有在面對問題情景時就知道怎么辦的程序性知識的話，那么學生就會感到成功解決之后的喜躍，一旦形成良性的反應，學生的思考就會進入一種極佳的狀態。

　　第四，認知的相對優勢興奮區表征出現偏差。

　　很多老師都有這樣的體驗：在輔導學生的學習過程中，某個學生的一種比較笨拙且容易導致錯誤的解題方法在被老師發現并予以糾正后，該生在后來的練習中還是因為用原來錯誤的思路導而致解題錯誤。這樣的學生常常被老師斥責“死腦筋”“明擺著的知識就是想不到用”“剛剛教過，你到底聽進去了沒有”。在這種情況下，我們稱該生以前使用的解題方法為具有優勢興奮性的知識，因為它是長期養成的一種思維習慣。

　　同樣的現象也存在此題的輔導情況中，學生在教師針對此題輔導之后的幾次獨立作業中，還是重復出現了類似的錯誤。從這些錯例中很明顯可以看出，在學生頭腦中占優勢興奮的知識點究竟是什么？下面是我和學生面對面的一次非常隨意的沒有心理壓力的談話。

　　師：“我們在課堂上的討論和學習，你覺得都理解嗎？”

　　生點點頭：“理解呀！”

　　師：“那課堂上后來的幾道練習題你都正確了嗎？”

　　“都正確。”生這時顯得有點興奮，很明顯還在回味課堂上的良好表現。

　　“哪你為什么每次獨立作業的時候卻還是用原來錯誤的方法去做呢？比如看到降低就用減法，看到增加就用加法呢？”老師皺起了眉頭。

　　“我也不知道為什么。”學生苦著臉說道。

　　……

　　從交談中可以看出，具有相對優勢興奮性的知識在學生的頭腦中以潛意識的方式存在，事實上學生也根本沒有意識到這一點。在更多的情況下，當一個有用的知識與另一個或多個有同樣功能的知識同時并存在大腦中，如果某一個知識被優先激活了，則其他知識便失去了被激活的機會。很明顯，學生出現上述情況就是因為學生第一次在學習這部分知識時所形成的一種產生式知識結構是看到降低肯定是減法，而這又正好符合學生大部分的生活經驗，在頭腦中占有優勢興奮地位。因此雖然教師在課堂中進行反復的強調，但由于在后續的學習中沒有得到有效的順應，沒能進行知識的重建，因此當學生以后碰倒類似的問題時，還是會按照原有的興奮程度高的解題策略進行解題。有時我們讓學生仔細地重新審視一遍題目時，很多學生讀著讀著會猛然醒悟過來：“噢！不對不對，我錯了，是x要多，不是y多。”這其中的原因就在于正確的認知圖式在學生的頭腦中處于劣勢的地位，總是后一步得到提取。

　　對策和措施

　　基于以上的分析和診斷，我們知道了學生出現錯誤的原因，接下去關鍵的一步就是制定具體的補救措施。根據以上的分析和學生的實際情況，筆者主要采取了以下幾種輔導補救策略：

　　一、清晰有效地表征信息

　　創造學研究表明，一個創新思維的靈活閃現，首先在于對需要的信息有一個完整清晰的表征，從而能夠實現知識的頓悟和創新。因此我注重讓學生不斷地進行完整地讀題訓練，就如同語文一再強調的閱讀語感一樣，我希望我的學生能夠從語感上領悟題意，在讀題中能夠完整、清晰的表征有關的信息。

　　我曾做過好幾次試驗，學生產生錯誤后，教師根本沒有作指導，只是讓學生一遍又一遍地讀題，邊讀邊想，如甲比乙多幾，如何求甲或乙；要求學生把諸如降低了百分之幾的縮略語完整地表達出來。每次讀好之后，教師緊跟著追問一句：“你讀出來么？你讀懂了嗎？”。結果有70% 的學生都能將題目正確解答出來。我想這就是學生不能正確解題的一個基本原因，即需要處理的信息在大腦中的表征還很模糊、不夠牢固和清晰。因此解決這類問題最基本的策略是多讀幾遍，指導學生通過朗讀達成理解，就是為了讓問題情景在大腦的短時記憶中更穩定、更清晰、更熟練一些，這樣就更容易實現解決問題的頓悟。

　　其次心理學表明：一個人的短時記憶空間是有限的。作為教師應該有意識地引導學生對信息進行有效的簡約化，培養學生由外化進入簡約的內化處理能力。這時教師可以幫助學生利用外部工具來解決問題，如把需要加工的信息內容寫在紙上，采用表征簡化、示意圖、代表性符號等有效的策略幫助學生減輕記憶的負擔，使得短時記憶的空間得到充分地利用。例如：我國可吃的植物有2000種（以上），相當于歐洲和美洲總數的200%等一些長句。經常發現學生讀完題時，記住了后面的又忘了前面，因此我訓練學生將表現數量關系的句子簡縮成：我國是歐美的200%。這樣的訓練使得學生的短時記憶得到充分的利用，信息表征也顯得清晰穩定，大大提高了學生的學習能力。

　　二、形成良好的認知結構

　　上述分析時曾經提到學生以前一直使用的（即使是錯誤的）解題方法具有優勢興奮權，因為它是長期以來養成的一種思維習慣。要徹底糾正學生的這個有害思維習慣，就必須把后來獲得的這個新的解題思維方法變成在優勢興奮水平上高于原來思維的、更容易被優先激活的知識，或者更確切地說就是幫助學生形成良好的認知結構。

　　首先教師要幫助學生實現有意義的學習，根據學生的年齡特點建立形象化的認知圖式。應該說程序性的知識有抽象性和形象性兩種，而對于小學生尤其是那些學習比較困難的學生來說，更需要的是一種形象化的程序性知識，能夠讓學生在頭腦中迅速表征出圖像來。在這種情況下，一般的對策就是緊密聯系學生的生活經驗和已有知識，讓學生實現有意義的學習。教師引導學生借助于生活經驗和數學知識之間相似性大的特點，將新知納入到原有的知識結構中去，使學生的知識得以同化和順應。例如在此題的輔導中，有幾個學生不管怎樣認真讀題，總是不能完整地對信息進行表征，如現價比原價降低了50元。令人郁悶的是學生讀完題后總是認為原價少，從而出現選擇B之類的情況。

　　這樣的問題怎么解決呢？我把這幾個小家伙叫到身邊：“我們來做一個游戲，用比來說一句話，要求把話說完整，我先來，陳老師的歲數比你們大。”

　　小家伙們一聽有游戲做，勁頭馬上起來了。小王馬上接口：“陳老師的身材比我們高。”

　　“不，應該是你高。”我故意這么說。

　　“不對。”小王馬上給我糾正。“是陳老師高。”

　　我笑了笑，不動聲色地繼續讓學生說下去。

　　“我比陳老師的腳短。”        “不，陳老師的腳短。”

　　“陳老師的力氣比我們大。”    “不，你們的力氣大”      ……

　　小家伙們一聽急了，今天是怎么了，老師怎么總是出錯？我一看時機差不多了，拿出他們的作業，他們一看，饒了饒后腦勺，嘿嘿地笑了！

　　奧蘇貝爾的有意義學習理論認為，教師需要幫助學生建立實質性的、非人為的知識之間的內在聯系，即必須找準知識的原有固定點，以幫助學生實現最大程度的遷移。事實上，在學生的潛意識里已有的知識和生活經驗存在著很隱蔽的相似關系，如果我們能夠意識到這一點，則我們的學習就變得機智巧妙，從而讓學生進行主動建構，實現有意義的學習，這樣的有意義地學習就保證了知識在大腦中的相對優勢權。

　　其次，及時概括，幫助學生建立良好的知識結構。一般來說，概括程度高、經過合理編碼的知識是具有優先興奮權的，能夠進行居高臨下的遷移。這樣的學生在以后的學習中更能表現出分析問題和解決問題的敏捷性和正確性，表現出更高的解題智慧。

　　原有固定點的知識是奧蘇貝爾的心理學專用名詞，但核心知識點的同化作用更為關鍵。運用這個原理意味著教師應有意識地引導學生對所學的知識進行概括整理，例如此題中涉及比較的知識結構如下：

　　從上面我們很明顯可以看到各知識點之間以及上下位的內在聯系，差和商就是基于兩個數量比較的運算結果，而無論何種比較都需要尋找一個參照物（即平常所說的標準量）才能得出明確的結果，這一點對于這些學生來說體悟是不深的。這里的參照物、同樣多等概念就處于知識結構的核心地位。教師在讓學生初次學習時就要引導學生反思平時生活中習以為常的生活經驗，培養學生用數學的眼光觀察周圍的世界，完成對知識的重構。

　　例如教師創設了這么個情景：教師播放了一段姚明的錄像，讓學生談談自己的想法。不少學生發出這樣的感嘆：要是我有姚明這么高，我也去打籃球。“是呀，姚明真的很高！”老師附和道，但教師的話鋒馬上一轉，“姚明真的很高嗎？如果用數學的眼光去思考，你覺得這句話有問題嗎？”……

　　接著老師聯系本班實際出示了一組發散性的練習：六（3）班男生24人，女生19人，我們可以怎樣對他們進行比較？比較之后引導學生進行分類整理，學生很容易體會到由于參照物（標準量）的不同，比較結果也是不同的，這就培養了學生異中見同的能力，學生的智慧得到了升華。

　　三、培養良好的情知策略

　　認知策略通常指學生在學習和貯存智慧技能以及其他一些能力的同時，還逐漸表現出種種能夠改進那些與學習同時發生的內部過程的自我調控方式，“是調控自己的認識活動以提高認知操作水平的程序性知識。” 即如何去學習，如何去記憶，如何對自己的思維做出反省和分析的規則構成，這類知識對有效學習起著很大作用。正如上面所分析的那樣，一些學生在解決數學問題過程中，由于策略性知識的不足，表現出在對較復雜問題的解決中無從入手。

　　良好的認知策略意味著學生碰倒一個問題情景時，能夠知道怎樣沿著一定的思路走下去，也就是說學生建構的程序化知識應該獲得自動化的熟練程度，這一方面需要必要的、一定程度的練習（不是題海戰術）。尤其是一些學困生由于認知能力差，往往不像優秀生那樣做到舉一反三，可能更需要的是“舉十才知一”。另一方面則嘗試引導學生進行出聲思維的訓練，來幫助學生形成必要的程序性知識。例如讓學生找出題目中表示數量關系的關鍵句，不完整的補充完整，并要求學生口答思維的過程。通過出聲思維的訓練，逐步使得學生經歷知識由外化到內化的過程，培養學生在學習中學會自問自答，并隨時反省自己的解題過程和思路的正確性，從而實現最有效的學習――自我否定后的自我肯定。

　　其次，任何知識經驗或者信息在大腦中儲存、記載或呈現時，都無不“染上”情緒色彩，表現出一定的情緒性質，這就如同一枚硬幣的正反兩面是緊密聯系在一起的。學生首次學習時帶有怎樣的情緒直接影響到下一次呈現這一個知識會有怎樣的情緒體驗，如果在當時學生伴有一種愉悅的情緒體驗，那么當他提取這個知識進行加工時，也往往會伴有興奮、愉悅、輕松的體驗，在學習過程中學生就可能不覺得累，效率也就會更高�？梢赃@么說，與愉快情緒建立聯系的知識，在長時記憶中能夠被優先提取。因此，教師在課堂教學和輔導中要真正做到創設一種民主、和諧的氣氛，充分利用自己的智慧，使學生感到學習的輕松和愉悅。

　　就這樣經過一段時間的輔導，我重新對這些學生進行了單獨的測試。從測試結果表明，雖然個別學生還是存在一些問題，但多數學生的成績有了很大的提高，平均分提高了將近十分，值得高興的是對比多比少的問題的認知障礙基本得以消除，學生的認知結構得到明顯的改善，并獲得了一些較為扎實的解題策略，尤其可喜的是由于注重對學生的認知情緒的培養，使得這些學生對數學學習重新樹立了信心，時不時能夠主動來到辦公室來問這問那，并自發自覺地思考一些數學問題，用新課程的理念來說，不僅獲得了知識技能、方法和過程，更是初步形成了良好的價值態度觀。

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