雖然這個(gè)活動(dòng)都是以國(guó)際象棋的棋盤(pán)和棋子來(lái)說(shuō)明，但實(shí)際上所需要的只是一些方格紙、一支鉛筆和一些國(guó)際象棋走法的基本知識(shí)。
車(chē)的巡回路徑
車(chē)的走法與中國(guó)象棋中的“車(chē)”相同，只能橫走或直走。研究車(chē)經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上每個(gè)方格一次，然后再回到起點(diǎn)的路徑。這種路徑會(huì)形成連續(xù)不斷的回路，可稱為“重返路徑”。圖1和圖2提供兩種走法作為參考。
車(chē)走完一次重返路徑，需要改變方向的次數(shù)最少是多少？
如果車(chē)的巡回路徑不一定要重返，那么可以只改變14次方向就經(jīng)過(guò)每一方格一次。你能找出這條路徑嗎？
車(chē)是否可能由某一個(gè)角落出發(fā)，經(jīng)過(guò)每一方格一次，最后到達(dá)相對(duì)的角落？
王后的巡回路徑
王后可以走對(duì)角線，也可以像車(chē)一樣直走或橫走，因此所走路徑的變化更多。
在圖3的例子中，王后的巡回路徑是對(duì)稱的，由一角落出發(fā)，最后到達(dá)相對(duì)的角落。在圖4的例子中路徑并不對(duì)稱，但可以重返。研究一下既對(duì)稱又能重返的巡回路徑。
如果允許王后經(jīng)過(guò)每一方格的次數(shù)可以超過(guò)一次，那么就可以在只改變方向13次的情況下，完成重返巡回路徑。試找出這條路徑。
圖5的王后巡回路徑有一種特性。如果把所經(jīng)過(guò)的方格依序給予連續(xù)的整數(shù)，以標(biāo)有S的方格為1開(kāi)始，那么就會(huì)形成一個(gè)幻方。請(qǐng)?jiān)囋嚳础?/font>
象的巡回路徑
象只能沿
解答與分析
車(chē)的巡回路徑
要完成重返巡回路徑，至少要改變方向15次，如圖1。一條不必重返的巡回路徑，只要改變方向14次就可以完成，如圖2。
車(chē)不可能完成由某一角落到相對(duì)角落的巡回路徑。因?yàn)槔鐚④?chē)由左下角走到右上角，則向上的位移是7格，向右的位移也是7格，總共有14格的位移；因此在行進(jìn)時(shí)，任何超過(guò)這個(gè)數(shù)目的向右移動(dòng)，必定要以向左移動(dòng)抵銷(xiāo)，向上移動(dòng)也要以向下移動(dòng)抵銷(xiāo)。所以，車(chē)要到達(dá)右上角，經(jīng)過(guò)的方格數(shù)一定是偶數(shù)。但完成這個(gè)巡回路徑只有63個(gè)方格，因此不可能有這樣的巡回路徑。如果車(chē)由左下角出發(fā)，完成一條巡回路徑，最后可能結(jié)束于哪些方格？
換個(gè)角度來(lái)看這些問(wèn)題，可以看成是個(gè)8×8的釘板，用一條橡皮圈接觸每一個(gè)釘子一次。參閱“5×5的釘板”。
王后的巡回路徑
任何由車(chē)所能完成的巡回路徑，王后都可以完成，因此我們將主要討論沿對(duì)角線方向移動(dòng)的巡回路徑。圖3是一個(gè)四瓣旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的重返巡回路徑，可以從中探討許多與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題。
圖4中的路徑雖然經(jīng)過(guò)一些方格兩次，但能在只改變方向13次的情況下，經(jīng)過(guò)每一方格。
象的巡回路徑
象從角落的黑色方格出發(fā)后只能朝一個(gè)方向移動(dòng)，因此這個(gè)方格不可能出現(xiàn)在象巡回路徑的中途。同理，在任何走黑色方格的巡回路徑中，角落的方格一定是起點(diǎn)或終點(diǎn)。
讓我們由圖5中標(biāo)有1的方格出發(fā)，當(dāng)象走到2時(shí)，只能再走到3或4。假設(shè)象走到3，那么略作思考就可以明白，4只會(huì)在最后一步時(shí)經(jīng)過(guò)，因?yàn)橹挥幸环N方式能走到4，那就是經(jīng)過(guò)5。但我們已經(jīng)討論過(guò)，路徑的終點(diǎn)應(yīng)該是在相對(duì)的角落，由此可見(jiàn)，不可能完成一條巡回路徑。
如果不能重復(fù)經(jīng)過(guò)任何方格，則最多能經(jīng)過(guò)29個(gè)方格。不管怎么走，一定會(huì)有至少3個(gè)黑色方格無(wú)法到達(dá)。圖6是一種走法，圖7是經(jīng)過(guò)每一個(gè)黑色方格最有效的路徑。
