圖1中的幻方滿足
8+1+6=4+9+2
但你可能沒有注意到另一種特性：
82+12+62=42+92+22
同樣的，
8+3+4=6+7+2
且
82+32+42=62+72+22
其他3×3幻方是否具有同樣的性質(zhì)？再檢查一下圖2與圖3中幻方外側(cè)的行(或列)中的數(shù)字平方和是否相等．這是否恒為真？
諸如此類，數(shù)字和與乘方的和都相等的一組數(shù)字，可稱為多階形式(multigrades)．前面所討論的都是二階形式，下面則是三階形式的一個例子：
1+5+8+12=2+3+10+11
12+52+82+122=22+32+102+112
13+53+83+123=23+33+103+113
或許你會以為要找到具有這種性質(zhì)的數(shù)字很困難，其實并非如此．
假設(shè)我們把上一個例子中的每一個數(shù)字加上2，則
3+7+10+14=4+5+12+13
不只如此，
32+72+102+142=42+52+122+132
而且
33+73+103+143=43+53+123+133
請研究加上其他數(shù)字的結(jié)果．但我們究竟要如何找出多階形式？先從簡單的等式開始：
1+5=2+4
如將各項加5：
6+10=7+9
將等號兩邊交叉合并，就可以形成二階形式：
1+5+7+9=2+4+6+10
12+52+72+92=22+42+62+102
加至每一項的數(shù)字5，是使所有多階形式中的數(shù)字都不相同的最小數(shù)字．形成三階形式的方法也是一樣，不過也是以二階形式為基礎(chǔ)的．
將10加至上式各項即得：
11+15+17+19=12+14+16+20
然后兩邊交叉合并，就可以得到：
1n+5n+7n+9n+12n+14n+16n+20n
=2n+4n+6n+10n+11n+15n+17n+19n
其中n=1、2或3．用你的計算器來驗算是否正確．
假設(shè)以下式開始：
1+5=2+4
然后各項加4，而不是加5，這時二階形式所包含的數(shù)字為：
(1，5，6，8)與(2，4，5，9)
而這可減少為
(1，6，8)和(2，4，9)
因5為相同的數(shù)字．
事實上，這就是開始時所介紹的3×3幻方中的數(shù)字．
現(xiàn)在將這些數(shù)字加上5，并利用前述交叉合并的程序，即可得出三階形式：
(1，6，8，7，9，14)與(2，4，9，6，11，13)
但6和9為共同的部分，故將它們?nèi)サ簦@樣，我們得到：
1+8+7+14=2+4+11+13
12+82+72+142=22+42+112+132
13+83+73+143=23+43+113+133
試著設(shè)計出你自己的多階形式．只要重復(fù)上述的程序，你也可以輕易地作出四階、五階或更高階的形式．
