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五年級趣題百講百練之六十三

2008-09-11 10:21:18     

  少年宮游樂廳內懸掛著200個彩色燈泡,這些燈或亮或暗,變幻無窮。200個燈泡按1200編號。燈泡的亮暗規則是:第1秒,全部燈泡變亮;第2秒,凡編號為2的倍數的燈泡由亮變暗;第3秒,凡編號為3的倍數的燈泡改變原來的亮暗狀態(即亮的變暗,暗的變亮);第4秒,凡編號為4的倍數的燈泡改變原來亮暗狀態。這樣繼續下去,……200秒為一周期。當第200秒時,哪些燈是亮著的?

  分析與解 在解答這個問題時,我們要用到這樣一個知識:任何一個非平方數,它的全體約數的個數是偶數;任何一個平方數,它的全體約數的個數是奇數。例如,618都是非平方數,6的約數有:123、6,共4個;18的約數有12、3、6、9、18,共6個。它們的約數的個數都是偶數。又例如,1625都是平方數,16的約數有:1、2、4、8、16,共5個;25的約數有1、525,共3個。它們的約數的個數都是奇數。

  回到本題。本題中,最初這些燈泡都是暗的。第一秒,所有燈都變亮了;第2秒,編號為2的倍數(即偶數)的燈由亮變暗;第3秒,編號為3的倍數的燈改變原來的亮暗狀態,就是說,3號燈由亮變暗,可是6號燈則由暗變亮,而9號燈卻由亮變暗……。這樣推下去,很難理出個頭緒來。

  正確的解題思路應該是這樣的:凡是亮暗變化是偶數次的燈,一定回到最初狀態,即是暗著的。只有亮暗變化是奇數次的燈,才是亮著的。因此,只要考慮從第1秒到第200秒這段時間,每盞燈變化次數的奇偶性就可判斷燈的亮暗狀態。

  一個號碼為a的燈,如果有7個約數,那么它的亮暗變化就是7次,所以每盞燈在第200秒時是亮還是暗決定于每盞燈的編號的約數是奇數還是偶數。我們已知道,只有平方數的全部約數的個數是奇數。這樣1200之間,只有1、4916、25、36、496481、100、12114416919614個數為平方數,因而這些號碼的燈是亮著的,而其余各盞燈則都是暗著的。

  用奇偶性分析解題,是我們經常用的一種解題方法,既靈活又有趣。

來源:小學生數學報 作者:

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