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二年級趣味數學: 暗室取物

來源:轉載 文章作者: 2008-06-24 16:50:44

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  置于暗室中的一只抽屜內裝有100只紅色襪子,80只綠色襪子,60只藍色襪子和40只黑色襪子.一個少年從抽屜中選取襪子,每次取出一只,但無法看到所取襪子的顏色.為了確保取出的襪子中至少包含有10雙,最少必須取出幾只襪子?(一雙襪子是指兩只相同顏色的襪子,但每只襪子只能一次用在一雙之中):

  (A)21(B)23(C)24(D)30(E)50

  這個問題雖然是中學生數學競賽中的試題,但解決它并不一定用中學的數學方法,實際上,只有小學的數學知識,也能解答.現在就來研究它的解答方法--復雜問題簡單化.

  解:我們可以這樣來考慮:

  (1)為使取出的襪子中,要能確保含有10雙,因此我們需要考慮最不利的情況.

  (2)先把問題簡單化

  ①如只需確保取出的襪子中含有一雙,則顯然需最少取出4+1=5只.因為先取出的4只,為各種顏色的各一只(最不利的情況),再取一只即可確保有一雙襪子.

  ②如需確保取出的襪子中含有2雙,則由①可知,取出5只,已確保含有一雙襪子,因此只需再取出2只,又可以確保含有一雙襪子--取出的第一只為①中確保有一雙襪子的顏色,從而再取一只襪子,就一定能確保再有一雙襪子.

  綜上所述,為確保取出2又,最少需取出5+2=7只.

  (3)從②的分析求解中,極易啟發歸納出本題的解答:最少需取出5+2×(10-1)=23只,即可保證取出的襪子中,至少包含有10雙襪子.

  所以本題應選(B).

  現在來研究下面一個類似問題.

  在一個袋子里裝有若干個大小相同的小球,僅僅顏色有別.其中紅色的9個,蘭色的13個,黑色的19個,白色的21個.如果蒙上你的眼睛,要你摸出若干個球來,那么你必須摸出多少個,才能保證至少有14個同色的小球?

  解:我們從最不利的情況去著想.

  (1)假若前9個都摸到的是紅色小球.因題目要摸出14個同色小球,而紅色小球只有9個,所以這9個球對達到要求不起作用.

  (2)假若再繼續摸出的13個小球又都是蘭色的,而蘭色小球只有13個,題目要求摸出14個同色小球,所以這13個蘭色小球對要求也不起作用.這樣,一共摸出了22個小球.

  (3)再繼續摸出的小球則或是黑色的或是白色的,二者必居其一.又從最不利的情況考慮:假如先摸出的26個小球,黑色的13個,白色的13個,最后再摸出1個小球,那么不管是黑色或是白色,都能達到保證有14個同色小球了.

  綜上所述,一共要摸出:

  9+13+13×2+1=49(個)

  才能保證至少有14個同色的小球.

  再研究一個類似的有趣的問題:

  有三個帶蓋的粉筆盒,每個盒里都裝有兩根粉筆.只知道其中的一個盒里裝有兩根白色粉筆,一個盒里裝有兩根紅色粉筆,一個盒里裝有一根白色和一根紅色粉筆.粉筆盒外的標記有"白、紅","白、白","紅、紅",但與里面裝的粉筆顏色全都不符.要求只能從其中的一個粉筆盒里取出一根來看,用這辦法搞清楚每個盒里所裝的粉筆的顏色,至少要幾次?為什么?

  解:只需要取一次.

  驗看標有"白、紅"那一盒,若拿出一根是白色的,可判斷這盒是"白、白"的(因為標記寫錯了,不可能是"白、紅"的).于是標有"紅、紅"的一定是"紅、白",而另一盒為"紅、紅".

  若拿出一根是紅色的,同樣道理也可以依次判斷出來.

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