“計(jì)算”一詞的應(yīng)用面很廣，本章我們討論的范圍只限定在整數(shù)的加、減、乘、除法四則運(yùn)算范疇內(nèi)。

　　在人類早期(具體時間無法確定)的某一刻，原始人類不知由于什么原因慢慢發(fā)現(xiàn)了事物是可以計(jì)數(shù)的，并且計(jì)數(shù)的結(jié)果與計(jì)數(shù)的順序沒有關(guān)系。比如你在手指上計(jì)兩只羊，它與你從哪只羊開始計(jì)沒有關(guān)系，同樣與你從拇指或小指開始計(jì)也沒有關(guān)系，最后總是數(shù)到2為止。如果你數(shù)完兩只羊后再數(shù)一只，那一定數(shù)到3為止。

　　人類對形如2十1=3這樣的計(jì)算理論的認(rèn)識一定慢慢經(jīng)歷了很漫長的時期。如果我們能打開一幅過去歷史的發(fā)展畫卷，我們一定能發(fā)現(xiàn)沒有一個單一的年代能夠令我們說“這就是人類發(fā)明了計(jì)算的年代”。這就如同孩子們對數(shù)的計(jì)算的認(rèn)識過程一樣，某一小孩可能在某一時刻第一次說出1+1=2，但他或她在第一次用詞語描繪它以前。對這一式子的認(rèn)識過程可能已經(jīng)經(jīng)歷很長時間了。

　　雖然導(dǎo)之于數(shù)字系統(tǒng)公理及定義的推理應(yīng)運(yùn)而生，但這并不意味著我們僅憑聽一下就能斷定某一計(jì)算陳述的正確與否。比如某人聲稱12 345 679×9=111 111 111，他沒經(jīng)過做乘法驗(yàn)證以前，你不可能完全相信。有些計(jì)算方面的定理陳述看起來很簡單，但其內(nèi)涵卻很深奧，以致于可能沒有人知道其正確與否，“哥德巴赫猜想”就是一個很著名的例子。任何一個大于2的偶數(shù)都可表示為兩個素?cái)?shù)的和嗎？迄今還沒有人能證明它是正確的，但也沒有人能舉出反例。

　　在這一部分，我們考慮關(guān)于計(jì)數(shù)方面比較簡單的一類問題。假如我們處理得適當(dāng)，所有問題都有很簡單的解法。我們精選的問題雖然很基本，但卻介紹了一些重要的概念及技巧，以引導(dǎo)我們在“數(shù)論”即過去被稱作“高等計(jì)算”方面達(dá)到一定水平。例如書中“唱片要割裂嗎”部分介紹“丟番圖”分析時。以之作為方程積分解法的發(fā)現(xiàn)，“多余的一個”包含了最基本的最小公倍數(shù)的概念，并依照“中華余數(shù)定理”可得到意想不到的簡單解法。

　　在計(jì)算機(jī)研究及分類理論中占重要地位的二進(jìn)制分類方式。構(gòu)成了猜測海倫的“未入冊的電話號碼”這一趣事的基礎(chǔ)，并且介紹了記憶的二進(jìn)制系統(tǒng)。在數(shù)論的很多高深證法中顯得最基本的“鴿洞原理”。用來證明了兩個有趣結(jié)果。其一是關(guān)于鈔票問題的，其二是關(guān)于頭上生長的頭發(fā)問題的。兩個整數(shù)互素(沒有公約數(shù))這一論據(jù)對表的時針、分針、秒針只能在12點(diǎn)完全重合――一個通常用乏味的代數(shù)方法才能證明的

　　定理提供了一個出人意料的簡捷方法。

　　關(guān)于瓶子計(jì)數(shù)方面的一個難題通過使用模算術(shù)得到了很簡單的結(jié)束，并由此引出了約瑟夫斯問題――一個類似于玩牌游戲中“通吃”這一方式的典型的數(shù)字難題。

　　盡管這一部分的問題對于數(shù)學(xué)家來說很平常，但它畢竟在重要的“數(shù)論”領(lǐng)域方面開辟了一條探索途徑。