三、定義新運算（一）

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一、填空題

    1.規定a☉b = ,則2☉(5☉3)之值為      .

2.規定“※”為一種運算,對任意兩數a,b,有a※b ,若6※x ,則x=

      .

3.設a,b,c,d是自然數,定義 .則

  3, 4, 1, 2      .

    4.[A]表示自然數A的約數的個數.例如,4有1,2,4三個約數,可以表示成[4]=3.計算: =        .

    5.規定新運算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,則x=        .

    6.兩個整數a和b,a除以b的余數記為a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根據這樣定義的運算,(26☆9) ☆4=        .

7.對于數a,b,c,d規定 .如果 ,

那么x=      .

8.規定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,

  1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=     .

    9.規定:符號“△”為選擇兩數中較大數,“☉”為選擇兩數中較小數.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=        .

    10.假設式子 表示經過計算后,a的值變為原來a與b的值的積,而式子 表示經過計算后,b的值為原來a與b的值的差.設開始時a=2,b=2,依次進行計算 , , , ,則計算結束時,a與b的和是         .

二、解答題

    11.設a,b,c,d是自然數,對每兩個數組(a,b),(c,d),我們定義運算※如下: (a,b)※(c,d)= (a+c,b+d);又定義運算△如下: (a,b)△(c,d)= (ac+bd,ad+bc).試計算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).

    12.羊和狼在一起時,狼要吃掉羊,所以關于羊及狼,我們規定一種運算,用符號△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.運算意思是羊與羊在一起還是羊,狼與狼在一起還是狼,但是狼與羊在一起便只剩下狼了.

      小朋友總是希望羊能戰勝狼,所以我們規定另一種運算,用符號☆表示為羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.運算意思是羊與羊在一起還是羊,狼與狼在一起還是狼,由于羊能戰勝狼,當狼與羊在一起時,它便被羊趕走而只剩下羊了.

      對羊或狼,可用上面規定的運算作混合運算,混合運算的法則是從左到右,括號內先算.運算的結果是羊,或是狼.求下式的結果:

      羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).

    13. 表示成 ;

   表示成 .

   試求下列的值:

   (1)         ;  (2) ;  (3) ;

   (4)如果x, y分別表示若干個2的數的乘積,試證明: .

    14.兩個不等的自然數a和b,較大的數除以較小的數,余數記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.

(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;

(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;

(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

———————————————答 案——————————————————————

1.  .

5☉3= ,

2☉(5☉3)=2☉ .

2.  8.

依題意,6※ ,因此 ,所以x=8.

3.  280.

原式 .

4.  5.

因為 有 個約數,所以[18]=6,同樣可知[22]=4,[7]=2.

原式 .

5.  9.

因為4※1= ,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.

6.  0.

,26☆9=8,又 ,故(26☆9)☆4=8☆4=0.

7.  6.

因為 ,所以 ,故 .

8.  86415.

7※5=7+77+777+7777+77777=86415.

9.  25.

原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.

10.  14.

     第1次計算后, ;第2次計算后, ;第3次計算后, ;第4次計算后, .此時 .

11.  (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).

     原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).

12.  原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.

13.  (1) ;

     (2) ;

     (3)因為 ,所以 ;

     (4)令 則 .

        .

14.  (1)1991☉2000=9;

      由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;

      由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.

     (2)我們不知道11和x哪個大(注意,x≠11),即哪個作除數,哪個作被除數,這樣就要分兩種情況討論.

        1) x<11,這時x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因為x應大于余數2),所以x=3或9.

        2) x>11,這時11除x余2,這說明x是11的倍數加2,但x<20,所以x=11+2=13.

        因此(2)的解為x=3,9,13.

     (3)這個方程比(2)又要復雜一些,但我們可以用同樣的方法來解.

        用y表示19☉x,不管19作除數還是被除數,19☉x都比19小,所以y應小于19.

        方程y☉19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.

        當y=7時,分兩種情況解19☉x=7.

        1)x<19,此時x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.

        2) x>19,此時19除x余7, x是19的倍數加7,由于x<50,所以x=19+7=26或 =45.

        當y=14時,分兩種情況解19☉x=14.

        1) x<19,這時x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.

        2)x>19,此時19除x余14,這就表明x是19的倍數加14,因為x<50,所以x=19+14=33.

        總之,方程(19☉x)☉19=5有四個解,x=12,26,33,45.