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《啊哈!靈機一動》-長度求解的技巧

來源:數(shù)學(xué)E網(wǎng) 2008-05-07 18:06:10

智能內(nèi)容

  對角線與半徑

  匆明女士突然看出來,水池的一邊是一個矩形的對角線,而該矩形的另一條對角線恰是這個圓形區(qū)域的半徑。一個矩形的對角線應(yīng)是相等的,半徑是5+4=9米,因此水池的每邊長是9米,根本不必用勾股定理。

  請注意這個解題技巧的意義。你也可以用其它常規(guī)的解答方法試試看,如果你只用勾股定理和三角形的有關(guān)知識去求解,那么解題過程恐怕是冗長繁瑣的。平面幾何中有一個定理:同一圓內(nèi)兩弦相交,那么一條弦被交點分成的兩部分之積等于另一條弦兩部分之積。如果你記住了這個定理,那么解題過程還可能簡化一些。根據(jù)這個定理可以得出右邊三角形的高度是56的平方根。再應(yīng)用勾股定理可以算出右邊三角形的斜邊是9米。

  還有一個與此相類似的問題,便是詩人亨利?龍菲洛(Henry Longfellow)在他的小說《卡文那》(Kavenaugh)中提到的關(guān)于睡蓮的問題(見圖2-4)。當(dāng)睡蓮的莖向上直立時,花高出湖面10厘米;如果你把睡蓮拉向一邊,始終保持莖是直的,花在距莖向上直立時與水面的接觸點21厘米遠處接觸水面,請問水有多深?

  圖2-4

  解決這個問題首先要畫一張示意圖,如上圖所示。這里畫圖就像解決游泳池的邊長問題需要畫圖一樣十分必要,我們的目標(biāo)是確定x的長度,解決這個問題的方法同樣不止一個,但如果你記住了相交弦定理,那么這個問題便迎刃而解了。

  這里還有一個關(guān)于游泳池的有趣的問題,如知道技巧便可很快解決。一只海豚在一個圓形游泳池的西岸邊A點,沿直線向前游12米,到達岸邊B點;調(diào)轉(zhuǎn)一個方向再游5米,到達岸邊C點,而C點剛好和海豚出發(fā)處A點相對。請問海豚從A點直接游到C點需游多少米?

  解決問題的技巧是,有一個定理:半圓所對的圓周角是直角。因此三角形ABC是直角三角形。這里已知兩條直角邊是5和12,那么斜邊自然是13米。

  以上幾個問題都說明這樣一個道理:解決某些幾何問題,有時應(yīng)用歐幾里德幾何學(xué)的一些最基礎(chǔ)的知識,就可以使問題變得相當(dāng)簡單。

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