歐幾里德小姐的立方體

　　第一個問題的答案是：要證明將一個4×4×4的立方體切成64個小立方體至少切六刀(切每一刀時都可以任意擺放每一塊的位置)，只需考察處于大立方體內(nèi)部的8個小立方體中的任意一個。這種小立方體的六個面都處在大立方體的內(nèi)部，沒有任何一面暴露于大立方體的外表面，而且，小立方體的每個面都必須在切一刀之后才能形成，所以，要切出這樣一個小立方體至少需六刀。

　　那么，是否有一個一般的方法，用最少的刀數(shù)把一個規(guī)則的長方體切成若干小立方體，當然在切的過程中允許任意安排每一塊的位置。回答是肯定的，具體方法如下：長寬高三條棱相交于一點，從這一點出發(fā)，分別把長寬高分成若干個單位長度，由此確定可切的最少刀數(shù)。對每條棱，在盡可能靠近中心的位置切，然后把切下的兩部分摞在一起，再在盡可能靠近中心的地方切，直至切到每一部分都是單位長度為止。三條棱需切的刀數(shù)之和，就是所求的最少刀數(shù)。

　　例如，一個3×4×5的盒子至少需切7刀：長度為3的邊需切2刀，邊長為4的需切2刀，邊長為5的需3刀，一共需7刀。這種一般切法的證明早在1952年出版的《數(shù)學雜志》上便有登載。

　　第二個問題的答案：解決這個問題的思路是這樣，在立方體的另一個面上畫一個對角線，使這條線與原有的兩條對角線一起構(gòu)成一個封閉的三角形，見圖2―22。這三條線相等，構(gòu)成一個正三角形，那么這個三角形的每個角都是60度，所以歐幾里德小姐提出的角度是60度。

　　圖2-22

　　對這個問題我們還可以進一步引申一下，假如歐幾里德小姐如圖2―23所示在立方體上畫兩條線，A、B、C分別為三條棱的中心，那么AB與BC所夾的平面角的度數(shù)是多少？

　　圖2-23

　　思路同前。首先，依次連接另四個面上相應棱的中點，使之形成一個繞立方體一周的封閉圖形。這個封閉圖形六條邊，每邊等長，而且每兩邊的夾角相等。如果我們能證明這個六邊形的六個頂點都在同一平面上，那么這六條線構(gòu)成的則必然是正六邊形。而證明這六點共面需要一點演繹或者解析幾何的知識，不過你可以實際操作一下，把一個正立方體木塊沿著問題中涉及到的六個棱的中心鋸開，你會發(fā)現(xiàn)這個切面恰好把立方體兩等分，六點確實共面。

　　一個正立方體被如此兩等分，且切面是一個正六邊形，這一事實似乎不好想象或者有點出人意料。但是事實既然如此，我們只好把最初那兩條線看作是這個正六邊形的兩條邊，而其夾角則是正六邊形的一個內(nèi)角，即120度。

　　從圖23中我們還可以想到另外一個有趣的問題。假如一只蒼蠅循著立方體的表面從A點爬向C點，請問，從A經(jīng)由B點到達C點的路徑是最短路徑嗎？

　　這里我們必須很清楚我們的思考方法，假設我們能“打開”這個立方體，即使相鄰兩面成為一個平面，那么在這個平面上連接AC兩點的線段就是從A到C的最短路徑。需要注意的是這樣做的具體途徑有兩個：旋轉(zhuǎn)頂面使之與前面重合，或者使前面與右面合二為一。前一種情況AC長√2 ，后一種情況AC長√2.5，這說明圖23畫出的線路就是從A到C的最短路徑。

　　第三個問題的答案：你完全可以先在某一個面上測量，得到數(shù)據(jù)后兩次利用勾股定理求出要求的空間對角線的長度。可是有一個更簡單的方法，找一個長方形桌面的桌子，設立方體的棱長為X，從桌角起沿桌邊量出距離X，在這點處做個記號，讓立方體的一個頂點處在這一點上，一條棱重合于桌邊，如圖2―24所示，顯然，AB兩點問的距離就是所要求的立方體的空間對角線的長度，它可以用尺子直接量出來。

　　圖2-24

　　有一個大球，要量出它的半徑，而尺子的長度只是大球直徑的三分之二，怎么辦？一個簡單的方法是，在球上某部分涂上口紅或別的什么顏色的涂料，然后把這個球放在地板上靠近墻邊，讓涂色那一部分與墻面接觸，那么口紅就會在墻上做了一點記號，這一點距地面的高度很容易用尺子直接量出，其長度即大球的半徑。

　　想試試怎樣用最簡單的方法測量出圓錐體或正四面體的高嗎？想試試怎樣用木匠的角尺測出圓柱形管子的半徑嗎？